Encontrar la serie de Laurent alrededor de un punto dado

Question

Mientras estudiaba, me encontré con este ejercicio:

Encuentra la expansión de la serie de Laurent válida para $0 < |z - i| < \sqrt2$ para la siguiente función:$$f(z) = \frac{1}{(z-i)^8(z+1)}$$ Así que tengo que obtener una expansión de la serie alrededor del punto $i$.

Intenté usar $w = z - i$ para ver si podía avanzar, pero todo lo que obtuve fue $$f(w) = \frac{1}{w^8}*\frac{1}{w + i + 1}$$ lo cual no me ayuda mucho porque no puedo convertir la segunda fracción en una serie geométrica, pensé que tal vez debía usar el $|1 + i|$ especialmente porque eso equivale a $\sqrt2$ pero realmente no sé si hay una forma válida de hacerlo.

Aprecio cualquier ayuda.

Edición: De acuerdo al comentario de AndreasBlass, lo transformé a $$\frac{1}{i+1}\sum_{n=0}^\infty \frac{w^{n-8}}{(1+i)^n}$$ lo cual creo que efectivamente sería válido para el rango que buscan, porque como mencioné, $|1 + i| = \sqrt2$

Answer 1

Como he actualizado la publicación principal, solo quiero explicar mi confusión, que en su mayoría surgió al ver problemas donde tenía fracciones que lucían así $$\frac{1}{a - r}$$ donde "a" era simplemente un número real.

La solución vino de, como señaló AndreasBlass, usar un número complejo en lugar del número real, lo cual poniéndolo en evidencia me dio $$\frac{1}{w^8(1+i)}\frac{1}{1 + \frac{w}{1+i}}$$ lo cual convergería si $|w| < |1 + i|$.