Añadir variables aleatorias dependientes

Question

Tengo una pregunta sobre la suma de $\underline{dependent}$ variables aleatorias $X_i$ : Definimos $N$ la variable aleatoria que cuenta cuántas variables aleatorias positivas hay que sumar para superar $1$ sabiendo que $\mathbb{E}[X_i] = c$ (y también podemos suponer $X_i \geq 0$ a.s.), es decir $$N = min (k \in \mathbb{N}\mid \sum_{i = 1}^k X_i \geq 1)$$ Yo pensaría que $\mathbb{E}[N] \leq 1/c$ pero ¿es de esperar? ¿Cuál es la N esperada? Gracias.

EDIT: Suponemos que $X_i \leq 1$

Answer 1

$N$ podría ni siquiera existir, o si existe podría ser enorme. Consideremos el caso en el que con probabilidad $1/2$ todo $X_i = 0$ y con probabilidad $1/2$ todo $X_i=1$ . Así, $\mathbb E[X_i] = 1/2$ . Cuando todos $X_i = 0$ , $N$ no existe, mientras que cuando todo $X_i = 1$ , $N = 1$ .

O si quiere asumir $X_i > 0$ a.s., deja $U$ sea uniforme en $[0,1]$ y todos $X_i = U$ . Entonces $N = \lceil 1/U \rceil$ y $\mathbb E[N] = \infty$ .