Número de puntos de acumulación de una secuencia

Question

¿Una secuencia puede tener infinitamente muchos puntos de acumulación, es decir podemos extraer infinitamente muchos subsecuencias de él s.t. que todos ellos convergen en su respectivo punto de acumulación? Tengo la sensación que significa que el período de repetición de algo podría ser infinitamente grande.

Answer 1

Comienzan con $0,1$. Luego viajar hacia atrás a $0$ en pasos de $1/2$, que $1/2,0$. Entonces viaje remite a $1$ en pasos de $1/4$, que $1/4,2/4,3/4,1$. Luego viajar hacia atrás a $0$ en pasos de $1/8$, que $7/8$, $6/8$, $5/8$ y así sucesivamente. Continuar.

Cada real entre $0$y $1$ es un punto de acumulación de nuestra secuencia.

Answer 2

Sí, esto es posible. Por ejemplo considere la secuencia $a_n$ $n \ge 2$ definidas como el divisor más pequeño de $n$ mayor de $1$.

Los puntos de acumulación son todos los números primos. Subsecuencias los presenciando son por ejemplo los poderes de $p$-th cada % primer $p$.

Answer 3

Los racionales son un conjunto contable. Podemos definir una función de 1 a 1 $f:N\to Q$ $Q=\{f(n):n\in N\}.$ considere la secuencia $S=(f(n))_{n\in N}.$ cada número real es un punto límite de un subsequence de $S.$

Answer 4

Todas las respuestas tienen igual cantidad de puntos de acumulación. Si desea solamente contable muchos, considere la secuencia:

$1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,2,3,4,5,\cdots$

Cada número entero positivo es un punto de acumulación y nada más.

Si además desea que delimitarse:

$\frac11,\frac11,\frac12,\frac11,\frac12,\frac13,\frac11,\frac12,\frac13,\frac14,\cdots$

Answer 5

Supongamos que cada fila de la siguiente matriz infinita converge a un número real diferente

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & \dots \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & \dots \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & \dots \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \end{bmatrix}

Entonces la secuencia

$a_ {11}, a_ {21}, a_ {12}, a_ {31}, a_ {22}, a_ {13}, a_ {41}, a_ {32}, a_ {23}, a_ {14}, a_ {51}, \dots $

contiene un número infinito de subsecuencias convergentes.