En primer lugar, el producto tensorial de dos espinores de Dirac es la suma directa de diferenciales $p$ -para todos los valores de $p$ . Es porque este producto tensorial es lo mismo que el espacio de todas las matrices que actúan sobre el espacio del espinor de Dirac. Pero todas las matrices (por ejemplo $4\times 4$ matrices tipo Dirac en 4 dimensiones) pueden escribirse como combinaciones lineales de $1$ , $\gamma_\mu$ , $\gamma_{\mu\nu}$ y así sucesivamente hasta " $\gamma_5$ ", es decir, el producto de todos los $d$ matrices.
En segundo lugar, si se sustituye la palabra "Dirac" por "Weyl", es decir, por un espinor quiral en el párrafo anterior, el producto tensorial seguirá incluyendo formas diferenciales pero sólo "todas las pares $p$ " o "todos los impar $p$ ", dependiendo de si las quiralidades de los dos espinores de Weyl son iguales u opuestas. Esto explica la descomposición de los dos $8\otimes 8$ productos tensoriales relevantes para los sectores Ramond-Ramond de tipo IIB. El $p$ -Los formularios sólo llegan hasta $d/2$ con la forma media (cinco) siendo autodual, si consideramos "Weyl por Weyl".
En tercer lugar, el estado básico de los fermiones periódicos NSR en la cuerda es degenerado y se transforma como el espinor (o el producto tensorial de dos espinores de este tipo). ¿Por qué? Porque el estado básico es una representación de los operadores de modo cero $\psi^\mu_0$ que no cambian la energía. Pero sus anticomutadores forman la misma álgebra que las matrices de Dirac $\Gamma^\mu$ por lo que la representación tiene que ser también la misma que la de un espinor. Las proyecciones de la OSG implican que en el espectro físico sólo queda el espinor quiral/Weyl de la misma quiralidad. El espinor par/impar $p$ surge porque los productos intercalados $\bar s_1 \gamma_\mu\dots s_2$ puede demostrarse que es cero si $s_1,s_2$ son algunos particulares $\gamma_5$ (quiralidad) estados propios, por el hecho de que $\gamma_5$ anticomunicación con $\gamma_\mu$ etc. (por eso todos los pares o todos los impar $p$ se puede demostrar que desaparece).
En cuarto lugar, el operador asociado a estos estados básicos tipo espinor es el campo de espín. Esto puede verse al darse cuenta de que los campos de espín son los operadores de más baja dimensión que se transforman como espinores, y el estado básico en el sector periódico R (o RR) es el estado de más baja energía que se transforma como un espinor (o el producto tensorial de dos de ellos).
En quinto lugar, la aparición de $\exp(-\phi/2)$ es sólo una bosonización del operador totalmente análogo a los campos de espín que vive en el $\beta\gamma$ teoría del campo conforme. Si los fantasmas superconformes fueran fermiones, el campo de espín podría bosonizarse a $\exp(\pm \phi/2)$ de algún tipo, y esta regla sigue siendo válida para la "rebosonización" de $\beta\gamma$ en el $\phi$ campos. Por qué la rebosonización es una equivalencia es un problema complejo en CFT, pero puede demostrarse.
Sexto, $G_{\mu\dots}$ son sólo las formas diferenciales de los parámetros de polarización para el estado/operador dado, análogamente al vector de polarización $\vec\epsilon$ de un fotón. Sus índices se contraen con los mismos índices de los campos de espín para que al operador de vértice no le queden índices libres. Como alternativa, se puede omitir simplemente el $G$ parámetros y hablar de operadores de vértice con índices de Lorentz libres y sin contracción.
En séptimo lugar, la traducción entre los estados y los operadores - la forma en que $V$ se derivó- es una tarea sencilla pero requiere trabajo. Hay que entender por qué existe la "correspondencia estado-operador" y conocer algunos métodos de CFT para determinar el diccionario. Todas estas cosas se discuten en el libro de Polchinski de manera que un lector debería ser capaz de aprenderlo desde cero.
Octavo, $16$ y $16'$ no vienen de la nada. Son simplemente las dos representaciones espinorales reales no equivalentes de $Spin(9.1)$ . El $2^{10/2}=32$ -El espinor de Dirac se divide en dos "mitades" en todas las dimensiones espaciales pares. Es necesario aprender algo de teoría de la representación básica (especialmente espinores) para entender estas cosas, pero los apéndices del libro de Polchinski son lo suficientemente autocontenidos como para que uno sea capaz de aprender estas cosas desde cero, también, al menos si ha sido expuesto a los espinores básicos de Dirac en 4D en un curso genérico de teoría cuántica de campos.
