Números enteros ciclotómicos: ¿Por qué tenemos $x^n+y^n=(x+y)(x+\zeta y)\dots (x+\zeta ^{n-1}y)$ ?

Question

¿Por qué tenemos la factorización $$x^n+y^n=(x+y)(x+\zeta y)\dots (x+\zeta ^{n-1}y)$$ para $\zeta$ una primitiva $n^{\text{th}}$ raíz de la unidad donde $n$ ¿es un impar prime?

Answer 1

Sugerencias: utilizar el polimio ciclotómico

$$z^n-1=(z-1)(z-\zeta)\cdot\ldots\cdot(z-\zeta^{n-1})\implies\; \text{substitute}$$

$$z=-\frac xy\implies\left(-\frac xy\right)^n-1=\left(-\frac xy-1 \right)\left(-\frac xy-\zeta\right)\cdot\ldots\cdot\left(-\frac xy-\zeta^{n-1}\right)$$

Ahora sólo hay que multiplicar la igualdad anterior por $\;y^n\;$ y, por supuesto, utilizar ese $\,n\,$ es impar....

Answer 2

Si $y = 0$ la factorización es $x^n = \underbrace{x\,.x \dots x}_{n\ \text{times}}$ .

Considere $y\neq 0$ . Si $\zeta \in \mathbb{C}$ es una primitiva $n^{\text{th}}$ raíz de la unidad entonces $\zeta^n = 1$ y $\zeta^k \neq 1$ para $k = 1, \dots, n-1$ . En particular, $\zeta, \zeta^2, \dots, \zeta^{n-1}, \zeta^n=1$ son todos distintos. Consideremos ahora $x^n + y^n$ como un polinomio en $x$ sobre los números complejos (tratar $y$ como una constante fija). Entonces por el Teorema Fundamental del Álgebra, $x^n + y^n$ tiene precisamente $n$ ceros. Para cada $k = 1, \dots, n$ , $x = -\zeta^ky$ es un cero como

\begin{align*} x^n + y^n &= (-\zeta^ky)^n + y^n\\ &= (-1)^n(\zeta^k)^ny^n + y^n\\ &= -(\zeta^n)^ky^n + y^n\qquad \text{as $n$ is odd, $(-1)^n = -1$}\\ &= -y^n + y^n\\ &= 0. \end{align*}

Como $y \neq 0$ , $x = -\zeta^ky$ para $k=1, \dots, n$ son todos distintos, por lo que son todos los ceros de $x^n + y^n$ . Por el teorema del factor, cada cero corresponde a un factor lineal, por lo que tenemos

\begin{align*} x^n + y^n &= a(x+\zeta y)(x+\zeta^2 y)\dots(x+\zeta^{n-1}y)(x+\zeta^ny)\\ &= a(x+\zeta y)(x+\zeta^2 y)\dots(x+\zeta^{n-1}y)(x+y)\\ &= a(x+y)(x+\zeta y)(x+\zeta^2 y)\dots(x+\zeta^{n-1}y) \end{align*}

para algunos $a \in \mathbb{C}$ . Comparando los coeficientes de $x^n$ deducimos que $a = 1$ y llegar a la factorización deseada

$$x^n+y^n = (x+y)(x+\zeta y)(x+\zeta^2 y)\dots(x+\zeta^{n-1}y).$$

Answer 3

La ecuación $x^n-y^n = (x-y)(x-\zeta y)(x-\zeta^2 y) ... (x-\zeta^{n-1}y)$ en realidad se aplica a todos los valores de $n$ , no sólo cuando $n$ es primo.

Cuando $x=y=1$ esta ecuación produce el producto de las cuerdas de los ángulos racionales $2\pi x/n$ cuyo producto es simplemente $n$ .

Esta parte es tangencial, pero es útil saberla, y se deriva directamente de esto.

Se acopla esto, con el hecho de que la unión del ámbito de un conjunto finito, cerrado a la multiplicación, y el conjunto de los números racionales $F$ es el mismo que el de $Z$ . El $x^n-y^n$ factoriza a un factor por cada divisor de $n$ y el producto de los valores $1-\zeta^m$ , donde $0<m<n$ y $hcf(m, n)=1$ entonces este factor es $p$ donde $n$ es un poder de $p$ o 1 en caso contrario.

Este hecho particular puede utilizarse para excluir, por ejemplo, que un ángulo con una cuerda como $4-\sqrt{5}$ no puede ser un ángulo racional. Es muy útil, por ejemplo, para limitar el número de poliedros regulares al conjunto conocido.