¿Es la función de distancia en un espacio métrico (uniformemente) continua?

Question

Dejemos que $(X, d)$ sea un espacio métrico. ¿Es la función $x\mapsto d(x, z)$ ¿continuo? ¿Es uniformemente continua?

Answer 1

Como señala Qiaochu $d(x,y)$ es continua para un número fijo de $x$ . Quizá le guste ver esto también, ya que es un resultado conocido en Topología:

Si $A$ es un subconjunto no vacío de un espacio métrico $(X,d)$ entonces la función $f$ en $X$ dado por $$f(x)=d(x,A):= \inf_{y\in A} d(x, y)$$ es continua. De hecho, $$| f(x) - f(y) | = | d(x,A) - d(y,A) | \leq d(x,y),$$ y por lo tanto $f$ es uniformemente continua (utilice $\delta = \epsilon$ en cualquier punto).

Para demostrarlo, dejemos que $x$ y $y$ sean puntos en $X$ y $p$ cualquier punto de $A$ .

Entonces $$d(x,p) \leq d(x,y) + d(y,p)\ \ \ \ \text{ (triangle inequality)}$$ y así $$d(x,A) \leq d(x,y) + d(y,p)$$ como $d(x,A)$ es el infimo. Pero entonces $d(y,p) \geq d(x,A) - d(x,y)$ (para todos los $p$ que se obtiene restando a la desigualdad anterior), por lo que $d(y,A) \geq d(x,A) - d(x,y)$ (como $d(y,A)$ es el mínimo). Así que : $d(x,A) - d(y,A) \leq d(x,y)$ .

Ahora invierta los papeles de $x$ y $y$ para conseguir $d(y,A) - d(x,A) \leq d(x,y)$ .

Esto se extrae de http://at.yorku.ca/cgi-bin/bbqa?forum=homework_help_2004;task=show_msg;msg=1323.0001

Answer 2

Sí. La definición estándar de la topología inducida por una métrica lo garantiza; de hecho, no es difícil ver que es la topología más gruesa tal que $d(x, y)$ es continua para un número fijo de $x$ .