¿Momento de inercia (inercia rotional?) de encontrar $I$ utiliza la integración?

Question

Acabo de volver de mi Introducción a la Rotación de la Cinemática de la clase, y uno de los conceptos importantes que se describió fue la Inercia de Rotación, o Momento de Inercia.

Es básicamente el equivalente de la masa en Netwon $F = m a$ en el movimiento lineal. El equivalente rotacional de la ecuación es $\tau = I \alpha$ donde $\tau$ es la fuerza de rotación, $\alpha$ es la aceleración de rotación, y $I$ es la inercia de rotación.

Para un punto sobre un eje, $I$ $m r^2$ donde $r$ es la distancia desde el punto al eje de rotación.

Para una continua cuerpo, esta es una integral -- $I = \int r^2 \,dm$.

Esto realmente no tiene ningún sentido para mí...tiene dos variables independientes? Sólo estoy acostumbrada a una variable independiente y una constante. Así que me gustaría resolver esto, el uso de mi experiencia con el cálculo (que abarca una lectura a través de las Chispas Notas de paquetes) como $ I = m r^2 $

Pero obviamente, esto está mal? $r$ no es una constante! ¿Cómo puedo lidiar con él? Necesito reparar $r$ con una expresión que varía con $m$? Pero, ¿cómo podía $r$ podría variar con $m$? ¿No es más probable que de la otra manera? Pero, ¿cómo puede $m$ variar con $r$? Es todo bastante confuso para mí.

Podría alguien ayudarme a averiguar qué hacer con todas estas sustituciones por ejemplo, calculando el Momento de Inercia de un aro con ninguna de espesor y anchura $w$, con el eje de rotación de la ejecución a través de su centro ortogonales a su plano?

Answer 1

Viendo la expresión como $I = \int r^2 dm$ es ciertamente confuso la primera vez que lo veo. Cuando vea una expresión como $I = \int x^2 dx$ que efectivamente se itera sobre un intervalo en el eje x y sumando el área de una cantidad infinita de infinitesimalmente pequeñas tiras. Tenga en cuenta que el área de cada una de las tiras se aproxima como el valor de la función (x^2) veces el largo de la tira (dx). Cuando vea una expresión como dm, estamos iterando sobre las masas en su lugar. Todavía podemos resumir el valor de la función (r^2), pero este tiempo se multiplica por la tira de masa (dm). Para resolver el problema, se suele poner m en términos de otra variable, que se pueden recorrer más fácilmente.

Por ejemplo, considere el momento de inercia de una varilla de longitud L alrededor de su centro con la masa total de L. Cada uno de los bits de longitud (dx) tiene una masa (dm) y r=|x|. La solución para $I = \int r^2 dm = \int |x|^2 dx = \int x^2 dx = (x^3)/3+c$. Ahora, hemos definido los valores de x para los sub en (-L/2 y L/2), por lo que escribimos I=(L/8)/3-(-L/8)/3=L/12

Ahora vamos a calcular el momento de inercia de la curva caso de que usted describe. Se rompe el aro hacia arriba en infinitesimalmente pequeños anillos a la misma distancia del centro. Deje que el aro interior de espesor r y exterior espesor R. El area es R^2-r^2. El área de la densidad, d, es, por tanto, m/(R^2-r^2). Un anillo en el radio k, con un espesor dk tiene área 2pi k dk, en masa es 2pi k dk * m/(R^2-r^2) y el momento de inercia alrededor del eje central 2pi k^3 dk * m/(R^2-r^2). La integral es pi/2*k^4 *m/(R^2-r^2)+c. Subbing en los valores exactos, nos, pi/2*(R^4-r^4) *m/(R^2-r^2)=pi/2*(R^2+r^2)*m

Answer 2

$dm$ es de las fluctuaciones de densidad en cuenta, es sólo $dm = \rho(\vec r) d^3r$.

E. g. para una homogénea cilindro con el eje de rotación alinear paralelo al eje z es $\rho = \frac{m}{V}\cdot\theta(R-r)\theta(z^2-a^2)$ donde $\theta(x) = \begin{cases} 0 for x<0 and\ 1 for x>0 \end{cases}$ $r = \sqrt{x^2+y^2}$ es el radial de coordenadas en coordenadas cilíndricas. El resultado es que su integración en $r$ es de 0 a R e z a de -una a una. $V=\pi R^2 \cdot 2a$ es el volumen del cilindro, $m$ de su peso. En coordenadas cilíndricas, $d^3r = r dr d\phi dz$, así que usted tiene

$I = \int_{r=0}^{R} \int_{z=-a}^a \int_{\phi=0}^{2\pi} r^2 \frac{m}{V} \cdot r d\phi dz dr = 4a\pi \frac{m}{V} \int_{r=0}^R r^3 dr = \frac{am\pi}{V}R^4 = \frac{1}{2}mR^2$.