Una ecuación para los campos vectoriales de Killing

Question

Dejemos que $(M,g)$ sea una variedad riemanniana con conexión Levi-Civita $\nabla$ . Sabemos que un campo vectorial $X$ es un campo vectorial de Killing si y sólo si satisface la ecuación de Killing (escrita en notación de índice abstracto) $$\begin{equation} \nabla_{\mu}X_{\nu} + \nabla_{\nu}X_{\mu} = 0 \end{equation}$$ Ahora me gustaría mostrar que $X$ también satisface la ecuación $$\begin{equation*} \Delta_{g}X^{\mu} + {R^{\mu}}_{\nu}X^{\nu} = 0 \tag{$\heartsuit$} \end{equation*}$$ donde $\Delta_{g} = \nabla^{\mu}\nabla_{\mu}$ es el operador de Laplace-Beltrami y $R_{\mu \nu}$ es el tensor de Ricci. La derivación debería ser sencilla. En efecto, si aplicamos $g^{\lambda \nu} \nabla^{\mu}$ a ambos lados de la ecuación de Killing, podemos conmutar el orden de diferenciación covariante y obtener $$\begin{align*} g^{\lambda \nu}\nabla^{\mu}\nabla_{\mu}X_{\nu} + g^{\lambda \nu}\nabla^{\mu}\nabla_{\nu}X_{\mu} &= \Delta_{g}X^{\lambda} + \nabla^{\mu}\nabla^{\lambda}X_{\mu}\\ & = \Delta_{g}X^{\lambda} + \nabla^{\lambda}\nabla^{\mu}X_{\mu} + {R^{\mu \lambda}}_{\mu \nu}X^{\nu}\\ & = \Delta_{g}X^{\lambda}+ \nabla^{\lambda}\text{div}X + {R^{\lambda}}_{\nu}X^{\nu}\\ & = \Delta_{g}X^{\lambda}+ {R^{\lambda}}_{\nu}X^{\nu}\\ & = 0 \end{align*}$$ donde la penúltima igualdad se deduce del hecho de que un campo vectorial de Killing es libre de divergencia. Sin embargo, no estoy seguro de la tercera igualdad, que $$\begin{equation} \nabla^{\lambda}\nabla^{\mu}X_{\mu} = \nabla^{\lambda}(\nabla^{\mu}X_{\mu}) = \nabla^{\lambda}\text{div}X \end{equation}$$ La principal confusión proviene de si podemos evaluar el término $\nabla^{\mu}X_{\mu}$ primero, y luego aplicar la diferenciación convariante exterior. Por otro lado, estoy bastante seguro de que $(\heartsuit)$ se mantiene, ya que servirá como paso clave para demostrar el hecho de que $\Delta_{g}$ conmuta con los campos vectoriales de Killing en las variedades riemannianas.

Answer 1

Sí, $\nabla^{\lambda}\nabla^{\mu}X_{\mu}$ significa $\nabla^{\lambda}(\nabla^{\mu}X_{\mu})$ . Es igual a $0$ desde $\nabla^{\mu}X_{\mu} = 0$ .

(Creo que esa es su única pregunta. Todo en tu derivación parece correcto).