¿Es el espacio de los operadores de Hankel complementado en B(H)?

Question

Dejemos que $H$ sea $\ell^2({\mathbb N})$ y que $S:H\to H$ sea el desplazamiento unilateral hacia delante, de modo que $S^*S=I\neq SS^*$ . Entonces un operador acotado $T:H\to H$ es Hankel si y sólo si satisface $TS=S^*T$ .

Dejemos que $V$ sea el espacio de todos los operadores de Hankel acotados en $H$ . ¿Existe una proyección lineal acotada desde $B(H)$ en $V$ ?

Creía haber visto algo sobre esta cuestión en los libros de Nikolskii sobre teoría de operadores, pero no estoy teniendo suerte en encontrar nada en MathSciNet, ni a través de Google. Lo único que encuentro es un artículo de encuesta de 1980 de Steve Power, en el que señala que es "poco probable" que $V$ se complementa en $B(H)$ pero ahí el rastro parece enfriarse. Ciertamente, el ingenuo intento de construir una proyección por "promedio" no parece funcionar.

¿Quizás se sabe que esta pregunta está abierta? Parece algo en lo que la gente habría trabajado, ya que hay varios resultados negativos que muestran que algunos otros subespacios naturales de $B(H)$ están sin completar.

Answer 1

La respuesta es no: no existe una proyección acotada de $B(H)$ en $V$ . Para una demostración, véase, por ejemplo, el teorema 5.12 en el libro de Peller Operadores de Hankel y sus aplicaciones .

Si sustituye $B(H)$ por la clase Schatten $S^p$ con $1\leq p <\infty$ la respuesta es sí. Para $1<p<\infty$ la proyección media natural está acotada, y de hecho es completamente acotada e incluso regular (con norma de orden $\sqrt p$ si $p>2$ y $1/\sqrt{p-1}$ si $p<2$ ). Hay un fenómeno interesante en $p=1$ La proyección natural ya no está acotada, pero hay otra que sí lo está. Esto se explica en el capítulo 5 del libro de Peller.