$A(D) \subseteq Y$ está cerrado, si $X$ es reflexivo, $Y$ es Banach y $D \subseteq X$ es cerrado, convexo y acotado.

Question

Ejercicio :

Dejemos que $X$ sea un espacio de Banach reflexivo y $Y$ un espacio de Banach. Además, dejemos que $A \in \mathcal{L}(X,Y)$ y $D \subseteq X$ sea un espacio cerrado, convexo y acotado. Demuestre que $A(D) \subseteq Y$ está cerrado.

Discusión :

Sé que para $A(D)$ para ser cerrado, teóricamente se debe demostrar que toda secuencia en $A(D)$ converge en $A(D)$ . Además, como $Y$ es Banach, si $A(D)$ es cerrado también debe ser Banach, por lo que puede ser una forma de demostrar que es cerrado.

Después de investigar un poco, me encontré con algunos posts citando el teorema de Banach-Alaoglu, pero esto es algo que no me han enseñado, así que supongo que debe haber una forma más elaborada.

Se agradecerá mucho cualquier sugerencia o elaboración.

Answer 1

Dejemos que $\{d_n\} \subset D$ y $Ad_n \to y$ . Desde $D$ está acotada la secuencia $\{d_n\}$ se encuentra en un conjunto débilmente compacto. Por lo tanto, existe una subred $\{d_n'\}$ convergiendo débilmente a algún punto $x \in X$ . Pero $D$ es débilmente cerrado, por lo que $x \in D$ . Además, cualquier mapa lineal continuo acotado por la norma es débil - a débilmente continuo. Por lo tanto, se deduce que $\{Ad_n'\} \to Ax$ débilmente. Como $Ad_n \to y$ débilmente se deduce que $y=Ax \in A(D)$ así que $A(D)$ está cerrado.