Encontrar el armónico conjugado de $u = \frac{1}{2} ln(x^2 + y^2)$

Question

Esta es una bonita comunidad;

Me ha costado mucho responder a esta pregunta, una respuesta detallada sería espléndida.

$u = \frac{1}{2} ln(x^2 + y^2)$ encontrar el armónico conjugado, y la función armónica.

Muchas gracias

Edición: esta es mi solución hasta ahora encontrado ux, es cuadrado, y uy con su cuadrado

probó con esta ecuación (F(z)= integración(ux(z,0)- juy(z,0))dz + jc) ....pero no pudo obtener un resultado sensato de (v)

mis resultados fueron F(z)=ln(z) +jc = ln(x+jy) + jc ..... como puede ver esto no es una solución satisfactoria

Answer 1

Dejemos que $u(x,y)=\frac12 \log(x^2+y^2)$ para $(x,y)\ne(0,0)$ . Si $v(x,y)$ es el conjugado armónico de $u(x,y)$ entonces existe una función analítica $f(z)$ tal que $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ .

Si $f(z)$ es analítica, entonces $u(x,y)$ y $v(x,y)$ satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann

$$\frac{\partial u(x,y)}{\partial x}=\frac{\partial v(x,y)}{\partial y} \tag 1$$

y

$$\frac{\partial u(x,y)}{\partial y}=-\frac{\partial v(x,y)}{\partial x} \tag 2$$

Desde $(1)$ encontramos que

$$\frac{\partial v(x,y)}{\partial y}=\frac{x}{x^2+y^2}\tag 3$$

Integrando $(3)$ con respecto a $y$ obtenemos

$$v(x,y)=\arctan2(y,x)+C(x) \tag 4$$

donde $C(x)$ es una constante de integración con respecto a $x$ y $\arctan2(y/x)$ se define como en ESTE ARTÍCULO .

Aplicación de la ecuación de Cauchy-Riemann $(2)$ a $(4)$ revela

$$\frac{\partial u(x,y)}{\partial y}=\frac{y}{x^2+y^2}+C'(x)$$

a partir de la cual encontramos $C'(x)=0$ .

Por lo tanto, fijando la constante de integración en $0$ el conjugado armónico de $u(x,y)=\frac12 \log(x^2+y^2)$ es

$$v(x,y)=\arctan2(y,x)$$

Ponerlo todo junto,

$$f(z)=\frac12 \log(x^2+y^2)+i\arctan2(y,x)=\log(z)$$