Aplicaciones de las sumas de Gauss

Question

Para demostrar la reciprocidad cuadrática, las sumas de Gauss son muy útiles. Sin embargo, esto parece una construcción ad-hoc. ¿Es útil en un contexto más amplio? ¿Cuáles son otros usos de las sumas de Gauss?

Answer 1

Las sumas de Gauss no son una construcción ad hoc. Conozco dos formas de motivar la definición, una de las cuales requiere que se conozca un poco de teoría de Galois y la otra es totalmente misteriosa para mí.

Esta es la explicación teórica de Galois. Sea $\zeta_p$ sea una primitiva $p^{th}$ raíz de la unidad, para $p$ de primera. El campo ciclotómico $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ es Galois por lo que se puede definir su Grupo de Galois el grupo de todos los automorfismos de campo que preservan $\mathbb{Q}$ . Dicho automorfismo está determinado por lo que hace a $\zeta_p$ y debe enviar $\zeta_p$ a otro primitivo $p^{th}$ raíz de la unidad. Se deduce que el grupo de Galois $G = \text{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_p)/\mathbb{Q})$ es isomorfo a $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ que es cíclico de orden $p-1$ .

Supongamos ahora que $p$ es impar. Como grupo cíclico de orden par, $G$ tiene un único subgrupo $H$ de índice dos dado precisamente por el grupo multiplicativo de residuos cuadráticos $\bmod p$ Así que por el teorema fundamental de la teoría de Galois el campo fijo $\mathbb{Q}(\zeta_p)^H$ es la única subextensión cuadrática de $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ . Y no es difícil ver que esta subextensión cuadrática única debe ser generada por

$$\sum_{\sigma \in H} \sigma(\zeta_p) = \sum_{a \text{ is a QR}} \zeta_p^a = \frac{1}{2} \left( \sum_{a=1}^{p-1} \zeta_p^{a^2} \right)$$

que, por supuesto, reconocerás como una suma de Gauss. Así que la suma de Gauss genera una subextensión cuadrática, y cualquiera de los diversos métodos te dirá que esta subextensión es precisamente $\mathbb{Q}(\sqrt{p^{\ast}})$ donde $p^{\ast} = (-1)^{ \frac{p-1}{2} } p$ . (En realidad, esto no requiere ningún cálculo: si se conoce suficientemente la teoría algebraica de los números, se deduce de la consideración de qué primos ramifican en extensiones ciclotómicas).

La explicación totalmente misteriosa es que las sumas de Gauss aparecen naturalmente cuando se empieza a pensar en el transformada discreta de Fourier . Por ejemplo, la traza de la matriz DFT es una suma de Gauss. Pero, más misteriosamente, las sumas de Gauss son funciones propias de la DFT en cierto sentido. (He esbozado cómo funciona esto aquí .) Hay una especie de conexión misteriosa con la distribución gaussiana, que es una función propia de la transformada continua de Fourier; véase esta pregunta del modus operandi . Una vez más, no sé qué hacer con esto. Hay un libro de Berg llamado La prueba analítica de Fourier de la reciprocidad cuadrática y puede o no ser sobre esta construcción.

Answer 2

No sólo cuadrático reciprocidad, uno puede utilizarlos para demostrar una mayor leyes de reciprocidad: véase la obra de Ireland y Rosen Una introducción clásica a la teoría moderna de los números . También aparecen en la ecuación funcional para las funciones L de Dirichlet (y se generalizan masivamente en el tema de los números raíz).

Answer 3

Se puede utilizar para demostrar un cierto teorema llamado el Teorema de Stickelberger que, a su vez, pueden utilizarse para demostrar cosas como Conjetura de Catalán .

Answer 4

También se utilizan para describir algo llamado efecto Talbot:

http://www.phy.bris.ac.uk/people/berry_mv/research.html

mira el número 8 de la lista. Asistí a un seminario de Mike Berry hace unos 12 años donde afirmó que el efecto Talbot era una manifestación física de las sumas de Gauss.

Answer 5

Las sumas de Gauss y las sumas exponenciales en general son especialmente útiles para determinar el tamaño de ciertas variedades algebraicas en campos finitos o incluso en grupos abelianos generales. Si se define

$$ A_t = \{x \in \mathbb{F}_q^d : f(x) = t\} $$

donde $t \in \mathbb{F}_q\setminus\{0\}$ entonces por ortogonalidad tenemos

$$ |A_t| = q^{-1} \sum_{s \in \mathbb{F}_q} \sum_{x \in \mathbb{F}_q^d} \chi(s (f(x) - t)), $$

donde $\chi$ es cualquier carácter aditivo no trivial en $\mathbb{F}_q$ .

Por ejemplo, si se considera $x = (x_1, \dots , x_d) \in \mathbb{F}_q^d$ y define $f(x) = x_1^2 + \dots + x_d^2$ entonces $A_t$ sería algún campo finito análogo a una esfera. Acotar dicho conjunto sería entonces equivalente a acotar

$$ q^{-1}\sum_{s \in \mathbb{F}_q} \left(\sum_{x \in \mathbb{F}_q} \chi(sx^2) \right)^d \chi(-st). $$

Las sumas de Gauss y, en particular, los límites conocidos para las sumas de Gauss implican que dicha suma es de tamaño $q^{d-1}(1 + o_d(1))$ como $q \to \infty$ .

Como señala Qiaochu, es bueno tener estos límites cuando se trabaja con la transformada discreta de Fourier.