Series en espacios ultramétricos

Question

Para la ultramétrica $d_v$

Una serie $(x_n)$ es convergente si $\lim_{n\rightarrow \infty}(x_n)=0$

Esta es la tercera parte de la pregunta, hice las dos primeras partes que dicen que cada trinágono es isóculo y cada punto del círculo es el centro.

No he averiguado la prueba, ¿podríais darme alguna pista?

Answer 1

Como sugiere Michael en los comentarios, dejemos que $S_n = x_1 + \cdots + x_n$ . Se quiere demostrar que la secuencia $S_n$ converge a algo. Supongo que estás trabajando en un espacio métrico completo, por ejemplo $\mathbb{Q}_p$ , lo que equivale a decir que la secuencia $S_n$ es Cauchy, es decir, para cada $\epsilon > 0$ existe un $N$ tal que para cualquier $n > k \geq N$ , usted tiene $|S_n - S_k| < \epsilon$ . Pero para cualquier $n > k$ , $$|S_n - S_k| = |x_{k+1} + \cdots + x_n| \leq \max \{|x_{k+1}|, ... , |x_n| \}$$ ¿Qué puedes decir ahora?