comprender matemáticamente los pares de fuerzas

Question

En estática, aprendemos que una fuerza aplicada a un cuerpo rígido está determinada por su línea de acción y su magnitud. En caso de que actúen dos fuerzas, podemos construir la paralelogramo de fuerzas (construyendo un paralelogramo sobre sus líneas de acción y encontrando su diagonal) para encontrar la "fuerza resultante" que actúa sobre el cuerpo.

Cuando las dos fuerzas actúan a lo largo de líneas paralelas, no podemos construir un paralelogramo directamente, pero añadiendo "nada" al sistema en el sentido de dos fuerzas iguales opuestas y emparejándolas con las originales podemos reducir el problema a un caso no paralelo. Excepto, es decir, cuando las fuerzas originales son paralelas y opuestas e iguales en magnitud. Entonces tenemos un "par" y no una fuerza.

¿Existe una forma matemáticamente elegante de entender esto, que no trate las "líneas de acción paralelas" como una excepción a la regla general, y la "pareja" como una excepción a una excepción? Tal vez haya una fórmula general para la fuerza resultante (dadas las líneas de acción y las magnitudes originales) que "simplemente funcione" para el caso paralelo, y que dé resultados para el caso de la pareja que se encuentre en alguna extensión adecuada del plano (¿tal vez el plano proyectivo?). ¿Existe algo así, u otra forma de unificar estos casos?

Answer 1

Una fuerza $\vec{F}$ puede expresarse generalmente en términos de sus componentes normales, es decir

$$\vec{F} = x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$$

donde $(x,y,z)$ es la componente de la fuerza en las coordenadas cartesianas. La fuerza resultante de dos fuerzas $\vec{F_1}$ y $\vec{F_2}$

$$\vec{F_1} = x_1\vec{i}+y_1\vec{j}+z_1\vec{k}$$ $$\vec{F_2} = x_2\vec{i}+y_2\vec{j}+z_2\vec{k}$$

está dada por,

$$\vec{F_S} = (x_1+x_2)\vec{i}+(y_1+y_2)\vec{j}+(z_1+z_2)\vec{k}$$

La fórmula anterior es general, aplicable a dos fuerzas cualesquiera, incluidas dos paralelas. Por ejemplo, la fuerza resultante de las dos fuerzas paralelas $\vec{F_1}=a_1\vec{i}$ y $\vec{F_2}=a_2\vec{i}$ es $\vec{F_P} = (a_1+a_2)\vec{i}$ . Si son opuestos y de igual magnitud, es decir $a_1=-a_2$ , $\vec{F_P}$ es simplemente se convierte en cero.

En la representación general de fuerzas anterior, el caso paralelo no es una excepción, sino que se engloba como un caso especial.