Muchos cursos y libros dan por sentado que los anillos tienen una identidad. Dicen que no hay mucha pérdida de generalidad al hacerlo, ya que los anillos estudiados suelen tener identidad o pueden estar incrustados en un anillo con identidad. ¿Cuáles son entonces las principales aplicaciones de los anillos sin identidad que se dan de forma natural en las matemáticas?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El ejemplo más común de anillos sin identidad se da en el análisis funcional, cuando se consideran anillos de funciones. Un ejemplo típico es considerar el anillo de todas las funciones de soporte compacto sobre un espacio no compacto. Obviamente, como estos anillos de funciones son muy importantes en $C^*$ -algebras y en el estudio de las propiedades del espacio, el conocimiento de los anillos sin identidad es muy importante para estudiar estos espacios.
Las sumas directas arbitrarias de anillos con unidad no son anillos con unidad, lo que también puede ser bastante molesto.
Es cierto que siempre se puede incrustar un anillo (como ideal, incluso) en un anillo con identidad. La incrustación más común es la de Dorroh, en la que partimos de un anillo $R$ y considerar el anillo con el conjunto subyacente $\mathbb{Z}\times R$ y las operaciones dadas por $(n,a)+(m,b) = (n+m,a+b)$ y $(n,a)(m,b) = (nm, nb+ma+ab)$ . No es difícil comprobar que $r\mapsto (0,r)$ incrustaciones $R$ en la extensión de Dorroh como un ideal. Puede conservar la característica de $R$ si es necesario: si $R$ es de la característica $n$ , a continuación, sustituya $\mathbb{Z}$ con $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ en la construcción. La extensión tiene otras buenas propiedades (ideales de $R$ siguen siendo ideales de la extensión, por ejemplo).
(Por suerte, actualmente estoy repasando una tesis sobre la incrustación de anillos como ideales en anillos con identidad, así que puedo dar otros resultados clásicos).
Sin embargo, la ampliación de Dorroh no conserva todo propiedades del anillo que pueden ser de interés en $R$ . Por ejemplo, un anillo es todo si no tiene divisores cero no nulos; un anillo es prime si siempre que $A$ y $B$ son ideales y $AB=0$ Entonces, o bien $A=0$ o $B=0$ (es decir, "primo" es la versión ideal de "entero"; un anillo entero es necesariamente primo). Por ejemplo, si se realiza la extensión de Dorroh en $\mathbb{Z}$ mismo (tal vez sin darse cuenta de que ya tenía un $1$ ) entonces $(1,-1)(0,r)=(0,0)$ aunque $\mathbb{Z}$ está completo. También hay ejemplos no triviales de esta situación. Otra propiedad que no necesariamente conserva la extensión de Dorroh es la de ser semiprimo.
Existen otras incrustaciones estándar de anillos en anillos con identidad, como la extensión de Szendrei (un cociente de la extensión de Dorroh). Pero incluso así hay propiedades teóricas de los anillos que pueden ser muy difíciles de mantener en este tipo de incrustaciones. Entre las más difíciles están la simplicidad (si $R$ es simple, podemos incrustar $R$ en un anillo simple con identidad? Sí; Anne Vakarietis, alumna de un colega, acaba de reunir las piezas para ello en su tesis). Se sabe que todo anillo conmutativo $n$ -(anillos en los que cada elemento tiene un $n$ raíz) se puede incrustar en una raíz conmutativa $n$ -con identidad, pero no se sabe si esto es posible para anillos no conmutativos. Asimismo, no se sabe si todo anillo semiprimario puede incrustarse en un anillo semiprimario con identidad.
Y lo que es peor, hay algunas propiedades que sabemos no puede ser respetado por tales incrustaciones. Por ejemplo, Fuchs y Rangaswamy demostraron que no toda $\pi$ -anillo regular puede ser incrustado como un ideal en un $\pi$ -anillo regular con identidad (un anillo es $\pi$ -regular si cada elemento es $n$ -regular para algún número natural $n$ un elemento $x$ es $n$ -regular si existe alguna $y$ tal que $x^nyx^n=x^n$ (esto es una generalización de la regularidad de von Neumann).
Así que, en resumen: sí, los anillos sin identidad surgen de forma muy natural, y como tales aparecen al investigar otros objetos matemáticos. Y aunque es cierto que siempre se puede incrustar un anillo sin identidad como ideal en un anillo con identidad, esto puede no ser bueno desde el punto de vista del estudio de algunas propiedades teóricas de estos anillos.
