Derivada de una función de base radial $\nabla_x \frac{1}{1+\|x - y\|^d}$

Question

Quiero calcular la siguiente derivada (con respecto a x):

$\nabla_x \frac{1}{1+\|x - y\|_2^d}$

donde, $x,y \in R^D$ y $d$ es un número entero positivo. $\| \|_2$ es una norma 2 de un vector.

Answer 1

Una pista. Observe que $$ (\sqrt{x^2+a})^{\large'}=\frac{x}{\sqrt{x^2+a}}\quad (a>0, \, x \in \mathbb{R}) \tag1 $$ entonces $$ \frac{\partial}{\partial x_k}\| x\|_2=\frac{x_k}{\| x\|_2} \tag2 $$ y $$ \partial_{x_k}\left(\frac{1}{1+\|x - y\|_2^d}\right)=-\frac{x_k}{\|x - y\|_2^d}\cdot\frac{d\:\|x - y\|_2^{d-1}}{\left(1+\|x - y\|_2^d\right)^2} \tag3$$