El espacio de cuellos de una colector es contractible

Question

Teorema: Sea $M$ sea una variedad lisa con límite $\partial M$ . Sea $e_0,e_1 : \partial M\times [0,1]\rightarrow M$ ser cuellos de $M$ es decir $e_i$ son incrustaciones tales que $e_i(x,0)=x$ para cada $x\in \partial M$ . Entonces $e_0$ y $e_1$ son isotópicos a través de incrustaciones.

Por alguna razón, es difícil encontrar una prueba clara de esto en la literatura, a pesar de ser un resultado fundamental que subyace a la totalidad de, por ejemplo, la teoría del cobordismo y la cirugía. La única referencia clara que pude encontrar estaba enterrada en la disertación de Cerf, en francés. Al estilo de las preguntas y respuestas, presenté mi opinión sobre una prueba como respuesta. ¿Hay algún agujero aquí? Si es así, agradecería cualquier ayuda para arreglar mi prueba.

Answer 1

En primer lugar, podemos "escalar" $e_0$ y $e_1$ mediante funciones suaves $h_0,h_1:\partial M \rightarrow (0,1]$ tal que las incrustaciones $e_i'(x,t)=e_i(x,h_i(x)t)$ tienen la misma imagen en $M$ . Por ejemplo, podemos hacerlo reduciendo primero $e_1$ hasta que su imagen esté correctamente contenida en la imagen de $e_0$ y luego se encoge $e_0$ para que coincida con sus imágenes. $e_0',e_1'$ son isotópicos al par original, por lo que podemos suponer que $e_0$ y $e_1$ tienen la misma imagen en $M$ .

La composición $e'=e_0^{-1} \circ e_1$ da un automorfismo de $\partial M\times [0,1]$ que es la identidad en $\partial M \times \{0\}$ . Definir una isotopía $h:\partial M \times [0,1]\times [0,1]\rightarrow \partial M \times [0,1]$ por $h(x,t,s)=(e'(x,ts)_{\partial M},(1-s)t+se'(x,t)_{[0,1]})$ donde el subíndice $_{\partial M}$ denota la proyección $(x,t)\mapsto x$ en $\partial M$ y de forma similar para $_{[0,1]}$ . El hecho de que se trate de una isotopía se deduce porque $e'(x,ts)_{\partial M}$ da un flujo en $\partial M$ y dos autoinclusiones crecientes cualesquiera de $[0,1]$ son isotópicos. Esto establece una isotopía entre $e_0^{-1}\circ e_1$ y la identidad. En consecuencia, $e_0$ y $e_1$ son isotópicos.