Integral definida $\int_{-\infty}^\infty \frac{\log(x^2+a^2)}{(x-ib)^2} dx$

Question

¿Cómo puedo evaluar la integral $$\int_{-\infty}^\infty \frac{\log(x^2+a^2)}{(x-ib)^2} dx?$$ Aquí $a, b$ son constantes reales positivas. Cuando introduzco esta expresión en MATLAB, obtengo la respuesta como $$ - \frac{\mathrm{log}\!\left(x - a\, \mathrm{i}\right)\, \mathrm{i}}{a - b} - \frac{\mathrm{log}\!\left(a^2 + x^2\right)\, \mathrm{i}}{b + x\, \mathrm{i}} + \frac{\mathrm{log}\!\left(x + a\, \mathrm{i}\right)\, \mathrm{i}}{a + b} + \frac{b\, \mathrm{log}\!\left(x - b\, \mathrm{i}\right)\, 2\, \mathrm{i}}{a^2 - b^2}$$ para la integral indefinida. Sin embargo tengo un logaritmo complejo problemático, que es ambiguo dependiendo del corte de la rama. Además, el MATLAB no da una respuesta de la integral definida para el rango de integración $(-\infty, \infty)$ .

Esta integral está motivada por la física, especialmente cuando se calcula un diagrama de Feynman.

Answer 1

Dejemos que $f \colon (0,\infty)^2 \to \mathbb{C}, \, f(a,b) = \int_{-\infty}^\infty \frac{\log(a^2+x^2)}{(x-\mathrm{i} b)^2} \, \mathrm{d} x$ . Podemos deshacernos de $a$ dejando $x = a t$ y utilizando el resultado $\int_{-\infty}^\infty \frac{\mathrm{d} t}{(t-\mathrm{i} c)^2} = 0$ para $c > 0$ : $$ f(a,b) = \frac{1}{a} \int \limits_{-\infty}^\infty \frac{2 \log(a) + \log(1+t^2)}{\left(t - \mathrm{i} \frac{b}{a} \right)^2} \, \mathrm{d} t = \frac{1}{a} \int \limits_{-\infty}^\infty \frac{\log(1+t^2)}{\left(t - \mathrm{i} \frac{b}{a} \right)^2} \, \mathrm{d} t \, . $$ La integración por partes da como resultado \begin{align} f(a,b) &= \frac{2}{a} \int \limits_{-\infty}^\infty \frac{t}{(1+t^2)\left(t - \mathrm{i} \frac{b}{a}\right)} \, \mathrm{d} t = \frac{2}{a} \int \limits_{-\infty}^\infty \frac{t \left(t + \mathrm{i} \frac{b}{a}\right)}{(1+t^2)\left(\frac{b^2}{a^2} + t^2\right)} \, \mathrm{d} t \\ &= \frac{2}{a} \int \limits_{-\infty}^\infty \frac{t^2}{(1+t^2)\left(\frac{b^2}{a^2} + t^2\right)} \, \mathrm{d} t \, , \end{align} ya que la parte imaginaria del integrando es una función impar. Para $a \neq b$ ahora podemos utilizar fracciones parciales para calcular la integral restante, mientras que para $a = b$ integrar por partes una vez más hace el truco. El resultado final en ambos casos es $$ f(a,b) = \frac{2}{a} \frac{\pi}{1 + \frac{b}{a}} = \frac{2\pi}{a+b} \, . $$