Matrices enteras con inversas enteras

Question

Si todas las entradas de una matriz invertible $A$ son racionales, entonces todas las entradas de $A^{-1}$ también son racionales. Supongamos ahora que todas las entradas de una matriz invertible $A$ son números enteros. Entonces no es necesario que todas las entradas de $A^{-1}$ son números enteros. Mi pregunta es:

¿Cuáles son todas las matrices enteras invertibles tales que sus inversas son también matrices enteras?

Answer 1

Exactamente aquellos cuyo determinante es $1$ o $-1$ .

Ver la pregunta anterior sobre el $2\times 2$ caso . El mapa determinante da la necesidad, la fórmula adjunta de la inversa da la suficiencia.

Answer 2

La inversa de una matriz entera es de nuevo una matriz entera si si el determinante de la matriz es $\pm 1$ . Matrices enteras de determinante $\pm 1$ forman el Grupo Lineal General $GL(n,\mathbb{Z})$

Answer 3

Arturo y Sivaram ya han dado la condición general para las matrices enteras con inversas enteras; aquí sólo apunto este ejemplo particular debido a Ericksen que la matriz $\mathbf A$ con entradas

$$a_{ij}=\binom{n+j-1}{i-1}$$

donde $n$ es un entero no negativo arbitrario tiene un inverso entero.

Answer 4

Sólo un comentario, una foto de una particularmente simple:

Añadido:
Los solucionadores iterativos tienen dificultades para resolver $Ax = b$ con $b$ una fuente puntual $[0 0 0 ... 1 ... 0 0 0]$ :
$A^{-1} b$ tiene que elegir una columna de $A^{-1}, \pm \, [1 \, 0 \, -1 \, 0 ...]$ . Además, este $A$ está lejos de ser definida positivamente -- sus valores propios son simétricos respecto a $0$ .
Ver también gmres-para-una-matriz-no-diagonalizable en scicomp.stack .

Answer 5

$$A^{-1} = \frac{1}{|A|}C^T $$ Donde $|A|$ denota el determinante de la matriz $A$ y $C$ es la matriz de menores. Cada entrada en $C^T$ , $c_{ji}$ , representa el menor quitando sólo el $i$ y la fila $j$ columna. Cada uno de estos determinantes es la suma, la diferencia y el múltiplo de enteros, por lo que cada $c_{ji}$ es un número entero. Esto significa, por supuesto, que $|A|$ debe ser $\pm 1$ . Como las matrices pueden ser de cualquier dimensión entera y hay infinitos enteros, con sólo enumerar las matrices de identidad llegamos a $\infty$ .