Dejemos que $G=\langle e, r,..., r^{n-1},s,sr,...,sr^{n-1} \rangle $ sea un grupo diédrico con $2n$ elementos, para $ 3 \leq n$ . Demostrar que los únicos subgrupos normales de $G$ son $\langle r^d \rangle$ (donde $d$ divide n) y $G$ mismo en el caso de que $n$ es impar.
Así que esto es lo que hice:
Supongamos que $sr^i \in H \unlhd G$ . Entonces $(sr^j)(sr^i)(sr^j)^{-1}=sr^{i-2j} \in H$
Ahora tengo que demostrar que desde $sr^{i-2j} \in H$ se deduce que $sr^i \in H$ para todos $i$ pero no sé cómo hacerlo. Creo que tengo que utilizar el hecho de que $n$ es impar pero no lo veo.
Si puedo demostrar esto puedo concluir que si un subgrupo normal contiene $sr^i$ entonces $H=G$ debe ser el caso.
Para la segunda parte necesito demostrar que $\langle r^d \rangle$ es un subgrupo normal de $G$ cuando $d$ divide $n$ :
$r^i r^d (r^i)^{-1}=r^d \in \langle r^d \rangle$ para todos $i$
y también $sr^i r^d (sr^i)^{-1}=s^2 r^{-d}=(r^d)^{-1} \in \langle r^d \rangle$ para todos $i$ . Como hemos comprobado los generadores podemos concluir que $\langle r^d \rangle$ es un subgrupo normal de $G$ . Pero no veo por qué no es el caso si $d$ no divide $n$ . En ninguna parte de mi prueba encontré eso.
Así que en realidad tengo tres preguntas:
- ¿Cómo puedo demostrar que si $sr^i$ es un elemento de algún subgrupo normal de G que ese subgrupo tiene que ser igual a G.
- ¿Me he equivocado en la segunda parte? ¿Es necesario que $d$ para dividir $n$ y si es así, ¿en qué me he equivocado en mi prueba?
- ¿Cómo puedo concluir que un subgrupo normal tiene que ser uno de estos dos? ¿Puedo decir simplemente que estos son los únicos subgrupos posibles?
Gracias de antemano.
