la inexistencia de una función que satisfaga $f(x)^{f(y)}=y^x$

Question

Demostrar que no hay ninguna función $f:\mathbb{N}\mapsto \mathbb{N}$ tal que $\forall x, y \in \mathbb{N}\ (f(x))^{f(y)}=y^x$
Mi intento: Si tal función existe, entonces para $x,y,z \in \mathbb{N}$ $(f(x))^{f(y+z)}=(y+z)^x$ pero por otro lado $(f(x+y))^{f(z)}=z^{(x+y)}=z^xz^y=(f(x))^{f(z)}(f(y))^{f(z)}$
y necesito una pista para lograrlo.

Answer 1

Denote $a=f(1)$ entonces $a^a = 1^1 = 1$ . Por lo tanto, $a=f(1)=1$ y $1 = 1^{f(2)} = 2^1=2$ una contradicción.