¿Cómo se demuestra realmente, a partir de la asociatividad, que se pueden eliminar los paréntesis?

Question

Siempre he oído este razonamiento, y tiene un sentido evidente, pero ¿cómo se demuestra realmente para un producto arbitrario? ¿Sería algo así?

$$(a(b(cd)))e=((ab)(cd))e=(((ab)c)d)e=abcde?$$

¿Dices que la agrupación de los paréntesis corresponde ahora a multiplicar directamente? Gracias.

Answer 1

A más formal versión pedante de parte una parte muy pequeña de la respuesta de Mariano Suárez-Alvarez.

La asociatividad es una propiedad de la multiplicación, que es una operación binaria. Más concretamente, la multiplicación es un mapa $m:R \times R \to R, (a,b) \mapsto m(a,b)=ab$ .
La ley asociativa dice que (ab)c = a(bc). Usando m, eso es lo mismo que m(m(a,b),c) = m(a,m(b,c)). (Nótese que m toma exactamente dos elementos de $R$ como "entrada"). Una consecuencia de la ley asociativa es que no hay ambigüedad al escribir abc, ya que "no importa cómo se pongan los paréntesis, el resultado será el mismo".

Editar: Como escribe Arturo en un comentario más abajo: "la asociatividad no es una propiedad de la multiplicación per se ([...] la adición [es] asociativa [como lo es] la composición de funciones) sino, más bien, una propiedad que puede tener o no una operación binaria." Por supuesto, la prueba de Arturo en su respuesta funciona para cualquier operación binaria asociativa.