¿cuál es la idea geométrica de este teorema?

Question

¿podría alguien decirme en pocas palabras cuál es la idea geométrica de este teorema?

"Deja que $u:\Omega\subseteq\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb {R}$ , $p=(x_0,y_0)\in\Omega$ , $u_x,u_y$ existen en cada punto de una vecindad de $p$ y continua en $p$ Entonces, para un tamaño suficientemente pequeño $s,t$ sur $\mathbb{R}$ ,

$$u(x_0+s,y_0+t)-u(x_0,y_0)=su_x(x_0+s^*,y_0+t^*)+tu_y(x_0,y_0+t^*)$$ con $|s^*|<|s|,|t^*|<|t|$

Answer 1

De hecho, como menciona echoone, se trata de una generalización del teorema del valor medio del cálculo de una sola variable.

Considere el rectángulo $[x_0,\ x_0 + s]\times[y_0,\ y_0 + t]$ . La idea es aplicar el teorema del valor medio por componentes a $u(x,y)$ .

Al tomar $x$ fijada, podemos considerar $u(x,y)$ en función de $y$ . Podemos entonces escribir $$u(x_0, y_0 + t) - u(x_0, y_0) = tu_y(x_0, y_0 + t^*)$$ Ahora aplicamos de nuevo el teorema del valor medio a $x$ $$u(x_0 + s, y_0 + t) - u(x_0, y_0 + t) = su_x(x_0 + s^*, y_0 + t)$$ Si se combinan las dos, se obtiene la expresión deseada. Parece que hay un pequeño error, ya que la expresión debería decir $$u(x_0 + s, y_0+t) - u(x_0, y_0) = su_x(x_0 + s^*, y_0 + t) - tu_y(x_0, y_0 + t^*)$$ y no $$u(x_0 + s, y_0+t) - u(x_0, y_0) = su_x(x_0 + s^*, y_0 + t^*) - tu_y(x_0, y_0 + t^*)$$ El $t$ en el primer término de la derecha no es $t^*$ .