La teoría estable es NIP

Question

Estoy trabajando con un material de teoría de modelos, y mis notas de origen afirman que cualquier teoría con la propiedad de independencia es inestable. Se afirma como un hecho, pero no veo por qué debería ser cierto. He buscado en otras fuentes y no he podido encontrar una prueba de esto, así que quizás sea trivial y me esté perdiendo algo. Por favor, indíqueme cómo puedo observar por qué esta afirmación es cierta. Gracias.

Answer 1

Al formular la propiedad de orden y la propiedad de independencia de la manera correcta, podemos ver que la propiedad de orden es sólo una forma débil de la propiedad de independencia.

Fijar una teoría $T$ . Supongamos que tenemos alguna fórmula $\varphi(x,y)$ , donde $x$ et $y$ pueden ser tuplas de variables.

$\varphi(x,y)$ tiene el pedir la propiedad si es coherente con $T$ que hay $(a_i)_{i<\omega}$ et $(b_i)_{i < \omega}$ tal que $M \models \varphi(a_i,b_j)$ si $i < j$ .

$\varphi(x,y)$ tiene el propiedad de la independencia si es coherente con $T$ que hay $(a_i)_{i < \omega}$ et $(b_S)_{S \subseteq \omega}$ tal que $M \models \varphi(a_i,b_S)$ si $i \in S$ .

Al establecer $b_j = b_{\{i | i < j\}}$ podemos ver que la propiedad de independencia implica directamente la propiedad de orden.

Answer 2

Demuestre que si $\phi(x, y)$ tiene la propiedad de independencia, entonces tiene la propiedad de orden (hay $(a_i : i < \omega)$ et $(b_i : i < \omega)$ tal que $\phi(a_i, b_j)$ si y sólo si $i < j$ ). Ahora bien, una teoría es estable si y sólo si ninguna fórmula tiene la propiedad de orden. Si se utiliza una definición diferente de estabilidad, se puede intentar demostrar que es equivalente a ésta.

Answer 3

Recordemos las definiciones:

Propiedad de la independencia: $\phi(x,y)$ tienen el propiedad de la independencia si hay secuencias $\langle a_i:i\in\omega\rangle,\langle b_W:W\subseteq \omega\rangle$ tal que $\phi(a_i,b_W)$ se mantiene si y sólo si $i\in W$ .

Pide la propiedad: $\phi(x,y)$ tiene el pedir la propiedad si hay secuencias $\langle a_i:i<\omega\rangle,\langle c_j:j<\omega\rangle$ tal que $\phi(a_i,c_j)$ se mantiene si y sólo si $i<j$ .

Estabilidad: Decimos que $\phi(x,y)$ es inestable si tiene la propiedad de orden.

Para demostrar que una propiedad con la propiedad de independencia es inestable: supongamos que $\phi(x,y)$ tiene la propiedad de independencia atestiguada por las tuplas $\langle a_i:i<\omega\rangle$ et $\langle b_W:W\subseteq \omega\rangle$ y simplemente tomar las secuencias $\langle a_i:i<\omega\rangle$ et $c_j=b_{\{0,1,\ldots,j-1\}}$ . Obsérvese que a partir de la propiedad de independencia tenemos:

\begin{align*} \models\phi(a_i,c_j) \Leftrightarrow \models\phi(a_i,b_{\{0,\ldots,j-1\}})\Leftrightarrow i\in \{0,\ldots,j-1\}\Leftrightarrow i<j \end{align*}

que muestra que $\phi(x,y)$ es inestable.