Hay un primo entre $n$ y $n^2$ sin Bertrand

Question

Considere la siguiente afirmación:

Para cualquier número entero $n>1$ hay un número primo estrictamente entre $n$ y $n^2$ .

Este problema se daba como problema de calificación (extra) para ciertos talleres (a los que desgraciadamente no pude asistir). Había un requisito de no usar el postulado de Bertrand (con el cual el problema es casi trivial), y me dijeron que sí existe una prueba moderadamente corta de este enunciado sin usar Bertrand. Esta es mi pregunta:

¿Cómo se puede demostrar la afirmación anterior sin el postulado de Bertrand ni ningún teorema fuerte?

Aunque sólo puedo aceptar una respuesta, me encantaría ver cualquier argumento que puedas aportar.

También me gustaría excluir los argumentos que utilizan una prueba del postulado de Bertrand, a menos que se pueda simplificar significativamente para demostrar una afirmación más débil.

Gracias de antemano.

Answer 1

Me he topado con este de Erdos, que en el curso de la demostración de algo mucho más general demuestra este resultado (véase una observación al final de esta página). Reproduzco aquí esa prueba, con pequeñas modificaciones hechas por mí.

Supongamos que $n>8$ y que no hay primos entre $n,n^2$ . Ya que claramente (la inducción obvia funciona) $\pi(n)\leq\frac{1}{2}n$ Por supuesto, tenemos $\pi(n^2)=\pi(n)\leq\frac{1}{2}n$ . Ahora considere el número $\binom{n^2}{n}$ . Todos sus factores primos son menores que $n^2$ y, por tanto, menos de $n$ . Tenemos la siguiente desigualdad:

$$\binom{n^2}{n}=\frac{n^2}{n}\frac{n^2-1}{n-1}\dots\frac{n^2-n+2}{2}\frac{n^2-n+1}{1}>\frac{n^2}{n}\frac{n^2}{n}\dots\frac{n^2}{n}\frac{n^2}{n}=\left(\frac{n^2}{n}\right)^n=n^n$$

Al mismo tiempo, considere $p$ prime y deje que $p^a$ ser el mayor poder de $p$ menor o igual a $n^2$ . Desde $\binom{n^2}{n}=\frac{(n^2)!}{(n^2-n)!n!}$ Por la fórmula de Legendre, el exponente de la mayor potencia de $p$ dividiendo este coeficiente binomial es igual a

$$\left(\lfloor\frac{n^2}{p}\rfloor-\lfloor\frac{n^2-n}{p}\rfloor-\lfloor\frac{n}{p}\rfloor\right)+\left(\lfloor\frac{n^2}{p^2}\rfloor-\lfloor\frac{n^2-n}{p^2}\rfloor-\lfloor\frac{n}{p^2}\rfloor\right)+\dots+\left(\lfloor\frac{n^2}{p^a}\rfloor-\lfloor\frac{n^2-n}{p^a}\rfloor-\lfloor\frac{n}{p^a}\rfloor\right)\leq 1+1+\dots+1=a$$

(la primera igualdad es verdadera, porque todos los términos adicionales de la suma son cero. La primera desigualdad es cierta porque para cualquier $a,b\in\Bbb R$ $\lfloor a+b\rfloor-\lfloor a\rfloor-\lfloor b\rfloor\in\{0,1\}$ )

Desde $\binom{n^2}{n}$ es un producto de como máximo $\pi(n)$ potencias principales, todas como máximo $p^a\leq n^2$ (por arriba), debemos tener

$$\binom{n^2}{n}\leq (n^2)^{\pi(n)}\leq (n^2)^{\frac{1}{2}n}=n^n$$

Hemos demostrado dos desigualdades contradictorias, así que esto termina la prueba por contradicción.

Answer 2

Después de buscar un poco en la red, parece que este resultado no es tan fácil de demostrar (sin Bertrand) como uno esperaría. Sin embargo, aquí: https://mathoverflow.net/a/52085 , puedes encontrar la prueba del resultado que buscas. Básicamente, el autor acorta la prueba del Postulado de Bertrand para que sólo demuestre tu resultado deseado.

Answer 3

He ideado una prueba sencilla basada en la función de recuento de primos $\pi(x)$ que soy bonito seguro que no depende del postulado de Bertrand.

En primer lugar, demostraré un lema según el cual para todo primo $n$ hay otro primo $p$ con $n < p < n^2$ . Utilizaré este resultado más adelante para mostrar el resultado general (es decir, para los compuestos $p$ también).

Basado en algunos desigualdades de $\pi(x)$ y el valor de una constante relacionada tenemos $$\frac{n}{\log n} < \pi(n) < C\frac{n}{\log n}\text{, where }C=\pi(30)\frac{\log 113}{113} \approx 1.255$$ para todos $n \geq 17$ . Queremos demostrar que para todos los primos $n$ tenemos $$\pi(n^2) > \pi(n)$$ o $$\pi(n^2) - \pi(n) > 0,$$ así que miramos el límite superior de $\pi(n)$ y el límite inferior de $\pi(n^2)$ para encontrar una diferencia mínima.

Tenemos $$\begin{align} \pi(n^2) - \pi(n) &> \frac{n^2}{\log n^2} - C\frac{n}{\log n} \\ &= \left(\frac{n}{2} - C\right)\frac{n}{\log n} \end{align} $$ por lo que la conclusión se cumple siempre que $$\left(\frac{n}{2} - C\right)\frac{n}{\log n} > 0.$$ Ya que para todo primo $n$ tenemos $$\frac{n}{\log n} > 0,$$ encontramos que $\pi(n^2) - \pi(n) > 0$ siempre que $\frac{n}{2} - C > 0$ , lo que nos da $$n > 2C \approx 2.51$$ así que $$n \geq 3$$ lo que es cierto para cada primo $n \geq 17$ .

Para primos menores podemos probar las cosas manualmente: $$2 < 3 < 2^2$$ $$3 < 5 < 3^2$$ $$5 < 7 < 5^2$$ $$7 < 11 < 7^2$$ $$11 < 13 < 11^2$$ $$13 < 17 < 13^2$$ Con esto concluye el lema.

Entonces, debemos demostrar que para cada compuesto $n$ hay un primo $p$ con $n < p < n^2$ . Tome el mayor primo menor que $n$ y llamar a eso $p_m$ . Entonces aplicando el lema encontramos que hay algún primo $p$ tal que $$p_m < p < p_m^2.$$ Porque $p > p_m$ , $p_m$ es el mayor primo menor que $n$ y $n$ es compuesto, encontramos que $$p < n.$$ Además, tenemos $$p < p_m^2 < n^2,$$ por lo que llegamos a la segunda conclusión: si $n$ es compuesto entonces hay un primo $p$ tal que $$n < p < n^2.$$

Ahora hemos demostrado la afirmación original tanto para los primos como para los compuestos $n$ y la prueba está completa.