¿Cómo comprobar si un estimador es insesgado y suficiente en este problema dado?

Question

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En este problema: El primero es fácil de ver.

(B) Las Mle son consistentes y $T_2$ también es coherente. (Corríjanme si me equivoco)

(C) $T_1$ parece ser un estimador insesgado de $\theta$ ... Cómo comprobar la existencia de $T_2?$

(D) $T_1$ ¿es suficiente? ¿Cómo comprobarlo? .. $T_2$ es suficiente, lo sé.

Answer 1

Es un poco impar que usted debe saber de alguna manera $T_2$ es suficiente, pero sin saber si $T_1$ es suficiente para $\theta$ ya que la cuestión de determinar la suficiencia se basa en el mismo Teorema de la Factorización, independientemente de la naturaleza de la estadística. Aplique el teorema y obtendrá su respuesta.

En cuanto a la comprobación de si un estimador es insesgado, en el caso de $T_2$ ni siquiera es necesario calcular su sesgo porque es trivial ver que $$\operatorname{E}[T_2] < \theta$$ desde $\Pr[T_2 < \theta] > 0$ mientras que $\Pr[T_2 > \theta] = 0$ . Se puede calcular formalmente la densidad del estadístico de orden máximo y calcular su expectativa, pero no es necesario.

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He aquí un ejemplo muy sencillo y concreto de su situación que, con suerte, le ayudará a entender a qué se enfrenta.

Supongamos que usted se dio cuenta de la muestra $\boldsymbol x = (3, 1, 5, 2, 7)$ . Aquí, $n = 5$ y se puede calcular $$T_1 = 36/5 = 7.2, \quad T_2 = 7.$$ ¿Hace cualquier sentido que $T_1$ podría calcularse a partir de $T_2$ que simplemente descartes ¿todos menos la mayor observación?

Ahora, ¿y si mi muestra hubiera sido $\boldsymbol x = (1, 1, 7, 1, 1)$ ? De nuevo $n = 5$ y como puedes ver claramente, $T_2 = 7$ de nuevo. Pero $T_1 = 22/5 = 4.4$ . Así que si te permito dar por sentado que $T_2$ es suficiente para $\theta$ Esto debería indicarle inmediatamente que $T_1$ no puede ser suficiente porque la suficiencia de $T_2$ significa que ha logrado la reducción de datos con respecto al parámetro $\theta$ : $T_2$ contiene la misma cantidad de información sobre $\theta$ como toda la muestra, lo que significa que las otras observaciones son no informativo sobre $\theta$ . Sin embargo, $T_1$ no está determinada de forma única por $T_2$ Por lo tanto, no puede ser suficiente.