Encontrar cuántas soluciones tiene una ecuación $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right) = 1$ tiene en el intervalo $x\in(0.001, 0.002)$

Question

Ecuación dada $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right) = 1$ , encuentra cuántas raíces tiene en el intervalo $x\in(0.001, 0.002)$ .

Como nunca he hecho este tipo de problemas en mi vida, estoy en un punto ciego. ¿Cómo puedo encontrar el número?

Answer 1

Supongo que quiere decir "soluciones", y no "raíces".

$\sin\left( \frac{\pi}{x}\right)=1$ se puede resolver para dar

$$x=\frac{2}{4n+1}, \quad n\in\mathbb{Z}.$$

Deje que su gama sea $[x_1,x_2]$ . Queremos contar el número de $x$ s que satisfacen $$x_1<x(n)=\frac{2}{4n+1}<x_2.$$

Vamos a poner algunos números. Me parece que el primer $n$ que hace que $x(n)<x_2$ es $n=250.$ Del mismo modo, me parece que el último $n$ antes de $x(n)\leq x_1$ es $n=499$ . Así que hay $499-250+1=250$ ¡soluciones!