Fallo en la prueba de que $M$ es noetheriano dada la secuencia exacta?

Question

Dejemos que $$0 \to M' \xrightarrow{f} M \xrightarrow{g} M'' \to 0$$ sea una secuencia exacta de $R$ -módulos. Entonces $M$ es noetheriano si y sólo si $M'$ y $M''$ son.

En mi intento de demostrar esto no utilicé la condición de cadena ascendente, sino que traté de utilizar el "cada submódulo de $M$ es una condición "finitamente generada". Me pregunto si mi prueba es correcta, ya que en ninguna parte utilicé el hecho de que $f$ es inyectiva?

Supongamos que $M'$ y $M''$ son noeterianos. Entonces $g^{-1}(N)$ es un submódulo finitamente generado de $M'$ con generadores $m_1', \dots m_s' \in g^{-1}(N)$ . Sea $N\subset M$ sea un submódulo arbitrario de $M$ . Desde $g$ es suryente, $g(N)$ es un submódulo de $M''$ . Desde $M''$ es noetheriano, encontramos generadores $m_1'' , \dots, m_t'' \in g(N)$ de $g(N)$ . Existen $n_1, \dots, n_t \in N$ con $g(n_i) = m_i''$ . Ahora dejemos que $n\in N$ . Entonces $$g(n) = \sum_{i=1}^t \lambda_i g(n_i)$$ para algunos $\lambda_i \in R$ . Por lo tanto, $n - \sum_{i=1}^t \lambda_i n_i \in \ker g = \operatorname{im } f \implies f(m') = n-\sum_{i=1}^n \lambda_in_i$ para algunos $m' \in M'$ . Pero como $n - \sum_{i=1}^n \lambda_i n_i \in N$ se deduce que $m' \in f^{-1}(N)$ . Por lo tanto, $m' = \sum_{j=1}^s \mu_j m_j' $ para algunos $\mu_j \in R$ Así que $$n= \sum_{j=1}^s \mu_j f(m_j') + \sum_{i=1}^t \lambda_i n_i$$ y $N$ es generado por $f(m_j)$ , $n_i$ .

Answer 1

La suposición de que $f$ es inyectiva o que $g$ es sobreyectiva no son necesarias, lo único que importa es que $M'\to M\to M''$ es exacta.

De hecho, suponga que conoce el caso para cuando $f$ es inyectiva, y $g$ es suryente, y dejemos que $M'\to M\to M''$ sea una secuencia exacta. Entonces $0\to M'/\ker(f)\to M\to \mathrm{im}(f)\to 0$ es exacta, y $M'/\ker(f)$ es noetheriano como cociente de un módulo noetheriano, $\mathrm{im}(f)$ es noetheriano como submódulo de un módulo noetheriano; y el resto se deduce.

Esto demuestra que no es sorprendente que no haya utilizado la inyectividad de $f$ .

Su prueba es rara : quién es $N$ ? Supongo que es el submódulo de $M$ en consideración, pero entonces debería ser $f^{-1}(N)$ al principio, no $g^{-1}(N)$ .

Además no necesitas $g$ sea suryente para $g(N)$ sea un submódulo de $M''$ .

Aparte de eso, tu prueba está bien, y como se ha señalado, no has utilizado la inyectividad de $f$ o la subjetividad de $g$ pero eso no es un problema, como he señalado.