¿Cómo demostramos que el área de un rectángulo y el volumen de un prisma rectangular son el producto de la medida de sus lados?
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Hagen von Eitzen
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La medida de Lebesgue en $\mathbb R^n$ es por definición la medida invariante de traslación que asigna $1$ al hipercubo unitario. Se deduce inmediatamente que el volumen de un rectángulo paralelo al eje, etc., viene dado por el producto de las medidas unidimensionales de sus lados; de forma similar para los productos paralelos al eje de figuras medibles de menor dimensión y una altura (como los prismas). En el caso de los rectángulos girados, puede ser conveniente mostrar de forma más general la conexión entre una transformación lineal y el valor absoluto del determinante.
Sudoku Polo
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Primero hay que definir el área si se quiere demostrar algo al respecto. O tomarlo como un noción primitiva y "definirlo" (abuso de lenguaje aquí) a través de axiomas . Si quiere una prueba al estilo de geometría clásica (que es la forma en que solemos aprenderlo en la escuela, pero sin las pruebas - jaja), es mucho más difícil comprobar si es riguroso que una analítica. De todos modos, así es como muchas personas lo aprendieron inicialmente:
Sólo daré un esbozo para su primera pregunta. Eso es porque no creo que pueda hacer más que eso ahora mismo.
Axiomas:
1) El área de un cuadrado de la unidad es 1;
2) Congruente Los polígonos tienen áreas iguales;
3) Si un polígono simple P se descompone en un número finito de partes, entonces el área de P es la suma de las áreas de las partes.
Teorema: El área de un rectángulo es el producto de las longitudes de sus lados.
Lo dividiremos en 3 casos:
1) Ambas longitudes son números enteros;
2) Ambas longitudes son racionales;
3) Al menos una de las longitudes es un número irracional (los griegos descubrieron que esto puede ocurrir en geometría como consecuencia del teorema de Pitágoras).
Prueba:
En el caso 1, digamos que los lados son a y b dividimos los lados en partes de longitud unitaria y trazamos las perpendiculares. Entonces podemos demostrar la fórmula del área del rectángulo si podemos demostrar que el rectángulo se descompone en ab cuadrados de la unidad.
En el caso 2, tenemos que encontrar una nueva unidad de longitud que sea conmensurable con nuestra unidad de longitud original, y eso nos llevará a la prueba del caso 1.
En el caso 3, las cosas se complican más... Puedes conformarte con aproximaciones o utilizar el método de agotamiento (o la teoría de límites ) para demostrar que la fórmula es exacta.
Referencias:
Notas:
- Probablemente puedas encontrar estas cosas en libros de Geometría Euclidiana Plana, pero yo no tengo ningún libro de este tipo, así que no puedo darte una buena indicación.
- Podrías haber utilizado diferentes axiomas, como postular El principio de Cavalieri o la idea de un segmento móvil (como en el cálculo, pero de longitud constante).
- En la geometría clásica, las pruebas son demasiado verbales para mi gusto.
