La ordenación de los pozos es una relación total

Question

Suponiendo que R es una relación bien ordenada sobre un conjunto A. Wikipedia afirma que toda relación bien ordenada es también una relación total.

Answer 1

Es sencillo, sólo tienes que coger un par $\{a,b\}$ de un conjunto bien ordenado tal que $a \neq b$ Ahora este par tiene un elemento mínimo, por lo que o bien $a < b$ o $b < a$ .

Answer 2

En aras de la contradicción, tomemos una anticadena $C \subseteq A$ en el conjunto bien ordenado $(A, \leq)$ que es un conjunto de elementos no comparables entre sí ( $\forall x,y \in C, x \not \leq y \text{ and } y \not \leq x$ ). Por lo tanto, contiene muchos elementos mínimos, pero no el más pequeño. Por otro lado $C$ contiene un elemento más pequeño como $\leq$ es una orden de bien. Esto es una contradicción.

Definición (mínimo, elemento más pequeño)

Si $(A, \leq)$ es un conjunto parcialmente ordenado, $X$ es un subconjunto no vacío de $A$ y $a \in A$ entonces

• $a$ es un mínimo elemento de $X$ si $a \in X$ y $\forall x \in X, x \not \leq a$ ;
• $a$ es el El más pequeño elemento de $X$ si $a \in X$ y $\forall x \in X, a \leq x \lor a = x$ .