$K$ -Categoría $M(0, 0) = M(A, 0) = M(0, A)$ utilizando la definición de la "Teoría de la gavilla" de Swan

Question

Utilizo la siguiente definición:

Una categoría $\mathcal C$ viene dada por lo siguiente:

1. Una colección de objetos $A$
2. Un conjunto $M(A, B)$ para dos objetos cualesquiera $A, B \in \mathcal C$ .
3. Una función $M(B, C) \times M(A, B) \to M(A, C)$ para cada triplete de objetos $A, B, C \in \mathcal C$ .

Estos términos deben satisfacer los siguientes axiomas

I: Si $\alpha : A \to B$ , $\beta : B \to C$ y $\gamma : C \to D$ entonces $\gamma(\beta \alpha) = (\gamma \beta)\alpha$ .

II: Para cada $A \in \mathcal C$ existe $i_A : A \to A$ de manera que si $\beta : B \to A$ , $\gamma : A \to C$ entonces $i_A \beta = \beta$ y $\gamma i_A = \gamma$ .

Una categoría $\mathcal C$ se llamará $K$ -categoría donde $K$ es un anillo conmutativo con unidad si tiene un objeto distinguido 0, el objeto cero, y satisface los tres axiomas siguientes:

III: $M(A, B)$ es un unital $K$ -módulo.

IV: La función $M(B, C) \times M(A, B) \to M(A, C)$ es un mapa bilineal de $K$ -módulos

V: $M(0, 0)$ es el módulo cero, también escrito 0.

El siguiente teorema es con el que estoy teniendo problemas. Parece que no puedo obtener el resultado utilizando la definición anterior de $K$ -categoría (De 'The Theory of Sheaves' de Swan)

Pruébalo: $M(0, A) = M(0, 0) = M(A, 0)$ .

Prueba :Como sabemos $M(A, B)$ es un conjunto (además un módulo) para cualquier $A, B \in \mathcal C$ entonces bastaría con demostrar que $M(0, A) \subseteq M(0, 0)$ y $M(0, 0) \subseteq M(0, A)$ . Esta última inclusión es trivial ya que $M(0, 0)$ es el módulo cero y cada módulo tiene el módulo cero como submódulo.

Ahora dejemos que $f \in M(0, A)$ . Queremos demostrar que $f \in M(0, 0)$ pero como $M(0, 0)$ es el módulo cero y es un subgrupo aditivo, su único elemento es el mapa 'cero' tal que se cumplen los dos axiomas siguientes: (Axiomas de módulo)

1. $f + 0 = f$ para todos $f \in M(A, B)$
2. $f + (-f) = 0$ para todos $f \in M(A, B)$

Aquí es donde estoy atascado. Parece que no puedo obtener el resultado directamente usando los axiomas que me dieron. ¿Alguna ayuda?

Como sub-pregunta (suave), ¿alguien tiene alguna opinión/recomendación sobre mi elección de libro de texto sobre la Teoría de la Gavilla? Es mi primera introducción a la asignatura y quería un libro de texto que no tuviera demasiada topología y este me parecía genial, pero he ido encontrando un poco de tipos :(

Answer 1

Dejemos que $f\in M(0,A)$ . El axioma IV significa en particular que $(f\cdot k)i_0=f(k\cdot i_0)$ para $k\in K$ . Tome $k=0$ entonces $0_A=fi_0$ es decir $f=0_A$ .

Observación: Es incorrecto escribir $M(0, A) \subseteq M(0, 0)$ desde $M(A,B)\cap M(C,D)=\emptyset$ para $(A,B)\ne (C,D)$ .