Inversa de la aproximación del seno de Bhāskara I

Question

La aproximación de Bhaskara I de $\sin x$ , para $x$ en radianes, es

$$\sin x = \frac{16x\left(\frac{\tau}{2}-x\right)}{5\left(\frac{\tau}{2}\right)^2-4x\left(\frac{\tau}{2}-x\right)}$$

donde $\tau := 2\pi$ .

Ahora necesito la inversa de esta fórmula para aproximar el seno inverso. (Averiguaré cómo "recortarla" una vez que pueda visualizarla en Desmos.) Wolfram Alpha sugiere

$$\arcsin x = \frac{x}{4}+\frac{\sqrt{\left(\tau^2+3\tau-4\right)\left(-x^2\right)}}{2\left(\tau+4\right)}$$

Sin embargo, Desmos no muestra ningún punto (excepto posiblemente uno en el origen). Véase https://www.desmos.com/calculator/w0us6zngaq .

Gracias de antemano.

Answer 1

Usted (o WolframAlpha) parece haber intercambiado el $\tau$ s y $x$ s en la inversa. (Además, realmente quieres el negativo raíz cuadrada). La inversa es en realidad $$\frac{\tau}{4}-\frac{\sqrt{-\tau^2 (x^2+3x-4)}}{2(x+4)}$$ que se puede escribir como $$\frac{\tau}{4}\left(1-2\sqrt{\frac{1 - x}{4 + x}}\right)$$

Dejaré que lo verifiques en Desmos.