demostrar que $\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\prod_{j\neq k}(a_k-a_j)}=0$

Question

Dejemos que $f(z)$ sea un polinomio complejo de grado al menos $2$ y $R$ sea un número positivo tal que $f(z) \neq 0$ para todos $|z| \geq R$ . Mostrar que $\int_{|z|=R} \frac{dz}{f(z)}=0$ y deducir que $\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\prod_{j\neq k}(a_k-a_j)}=0$ donde $a_i$ es $n$ raíces distintas de $f$

Puedo indicar $\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\prod_{j\neq k}(a_k-a_j)}=0$ de Residuos, pero me pregunto por qué $\int_{|z|=R} \frac{dz}{f(z)}=0$ ?

Answer 1

Pista. Tenga en cuenta que si $f(z)=\prod_{j=1}^n (z-a_j)$ donde los números complejos $a_j$ con $j=1,\dots,n$ son todos distintos, entonces $$\frac{1}{f(z)}=\sum_{k=1}^n\frac{A_k}{z-a_k}\quad \text{ where } A_k=\dfrac{1}{\prod_{j\neq k}(a_k-a_j)}.$$ Entonces para $R>\max_{j=1,\dots,n}{|a_j|}$ , $$\int_{|z|=R} \frac{dz}{f(z)}=\sum_{k=1}^nA_k\int_{|z|=R} \frac{dz}{z-a_k}.$$ P.D. ¿Sabe usted lo que el Residuo en el infinito ¿es? Pues bien, en nuestro caso dicho residuo es cero: $$\text{Res}\left(1/f;\infty\right)=-\text{Res}\left(\dfrac{1}{z^2f\left(\dfrac 1z\right)},0\right) =-\text{Res}\left(\dfrac{z^{n-2}}{\prod_{j=1}^n (1-a_jz)},0\right)=0$$ porque $n\geq 2$ .