¿El módulo puede ser negativo?

Question

Por ejemplo, si calculo $18 \bmod 5$ el resultado será $3$ . Esto se debe a $5\cdot3+3=18$ Pero, ¿puedo tener $5\cdot4-2=18$ que me da $-2$ ?

Answer 1

Eso está perfectamente bien porque están en la misma clase de equivalencia. Así que, en realidad, no es que tengan un signo diferente, es sólo un representante diferente para esa clase de equivalencia (en los racionales, es similar a $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$ (el mismo número, pero diferentes representantes para esa clase de equivalencia).

Answer 2

Para responder a la pregunta de su título, el módulo (en su ejemplo, es cinco) debe ser siempre al menos $2$ para que algo (interesante) tenga sentido. Sin embargo, es perfectamente posible escribir ambos $18 \equiv 3 \pmod{5}$ y $18 \equiv -2 \pmod{5}$ como $3 \equiv -2 \pmod{5}$ .

Como afirmación general, escribimos $a \equiv b \pmod{m}$ para significar que $m \mid (a - b)$ . Desde $5 \mid (18 - (-2))$ y $5 \mid (18 - 3)$ ambas afirmaciones son correctas. Sin embargo, el algoritmo de división implica que dados los enteros $q$ y $m$ con $m \geq 2$ entonces existen enteros únicos $d$ y $r$ tal que $q = dm + r$ y $0 \leq r < m-1$ . Desde $0 \leq r < m-1$ la mayoría de los matemáticos suelen escribir $q \equiv r \pmod{m}$ donde $0 \leq r < m-1$ ya que este es el elección natural para un miembro de la clase de congruencia .

Answer 3

Las cosas son más complicadas de lo que deberían ser. En Informática, $a\bmod m$ es el resto cuando $a$ se divide por $m$ . Como es el resto, tenemos $0\le a\bmod{m} \le m-1$ .

Aquí se utiliza "mod" como binario operador como la suma o la multiplicación.

Esta notación es relativamente poco utilizada por los matemáticos. En matemáticas, se escribe $a\equiv b\pmod{m}$ si $m$ divide $a-b$ . Si $m$ es fijo, se puede pensar en el mod como un binario relación . Con algunas variaciones, como la omisión del paréntesis, ésta ha sido la notación estándar desde la época de Gauss.

Para escribir $38\equiv -2\pmod{20}$ es perfectamente correcto.

Para escribir $38\bmod{20}=-2$ no es correcto: $38\bmod{20}=18$ .

Answer 4

Sí. Y tenga en cuenta que $-2 \equiv 3 \mod 5$ .

Si lo pensamos en términos de grupos cíclicos, entonces si $r$ es el generador de $C_5$ estaríamos diciendo $r^{-2}=r^3$ . Creo que la gente prefiere usar el 3 porque los elementos de $C_5$ son $\{r^0,r^1,r^2,r^3,r^4\}$ Así que $r^3$ (o 3) está realmente en el grupo, mientras que $r^{-2}$ necesita que trabajes un poco más diciendo $r^{-1}$ está en el grupo primero.

Answer 5

Añade un múltiplo de k a tu número negativo hasta que sea positivo mientras buscas su valor k odulo.