El mapa finito entre variedades afines implica que está finitamente generado.

Question

En la Geometría Algebraica Básica de Shaferevich, definió un mapa $f:X \to Y$ entre variedades afines es finita si $k[X]$ es integral sobre $k[Y]$ . Luego, en el teorema 1.13 de su libro (en la página 62), trata de demostrar que la finitud es una propiedad local como se indica a continuación.

Si $f:X \to Y$ es un mapa regular de variedades afines y cada punto $x \in Y$ tiene un vecindario afín $x \in U $ tal que $V= f^{-1}(U)$ es afín y $f|_{V}:V \to U$ es finito, entonces $f$ es finito.

Para demostrarlo, asume una cobertura finita de $Y$ que consiste en un conjunto abierto principal $D(g_{\alpha})$ . Sea $V_{\alpha} = f^{-1}(D(g_{\alpha}))$ Entonces, dice que la suposición implica $k[V_{\alpha}] = k[X][1/g_{\alpha}]$ tiene una "base" finita sobre $k[D(g_{\alpha})]=k[Y][1/g_{\alpha}].$

Sin embargo, no entiendo por qué hay una "base" tan finita. (En primer lugar, creo que los generadores son más aplicables en este sentido, ya que no sabemos si $k[X][1/g_{\alpha}]$ es un módulo libre sobre $k[Y][1/g_{\alpha}]$ o no. Pero este es un punto menor, así que sáltatelo). La razón principal por la que dudo de la afirmación es que existe una extensión integral que se genera infinitamente. (Por ejemplo, piensa en $k[\{\sqrt[p]{2}\}_{p\text{ is prime}}]$ ) ¿Cómo puede suponer que $k[X][1/g_{\alpha}]$ es un módulo generado finitamente sobre $k[Y][1/g_{\alpha}]$ basado en la suposición de que $f|_{V}$ ¿es un mapa finito?

Para su información, en la página 60, define el mapa finito $f:X \to Y$ sea un mapa tal que $k[X]$ es integral sobre $k[X]$ .

Edición: La última vez escribí la última frase como ``el mapa finito $f:X \to Y$ sea un mapa tal que $f^{\ast}:k[Y] \to k[X]$ es finito". Está equivocado; en la página 60, escribió $f$ es finito si $k[Y] \to k[X]$ induce una extensión integral. Perdón por la confusión.

Answer 1

Basta con demostrar que $k[Y]_{g_\alpha}\to k[X]_{g_\alpha}$ es de tipo finito. Demostraremos primero que $k[Y]\to k[X]$ es de tipo finito y entonces que la propiedad de ser de tipo finito se conserva bajo la localización.

En primer lugar, observamos que toda variedad afín sobre un campo $k$ es de tipo finito sobre ese campo: la inmersión cerrada $X\to \Bbb A^n_k$ da una suryección $k[x_1,\cdots,x_n]\to k[X]$ lo que demuestra que $k[X]$ es de tipo finito sobre $k$ . Podemos observar entonces que $k[Y]\to k[X]$ es de tipo finito por el hecho general de que si tenemos una composición de mapas de anillos $A\to B\to C$ con $A\to C$ tipo finito, $B\to C$ también debe ser de tipo finito. (Como alternativa, se adjuntan todas las variables a $k[Y]$ que necesita para inyectarse en $k[X]$ y, a continuación, cotizamos por las relaciones necesarias y cotizamos por todas las funciones no constantes sobre $Y$ .)

Por último, si un mapa anular $A\to B$ es de tipo finito, entonces el mapa $A[1/f]\to B[1/f]$ es de nuevo de tipo finito: localizamos la suryección $A[x_1,\cdots,x_n]\to B$ en $f$ y como la localización es exacta, vemos que preserva la suryección.

Alternativamente, también podemos observar que $V_\alpha$ y $D(g_\alpha)$ son variedades afines por derecho propio: si tenemos una inmersión cerrada $\phi:Y\to \Bbb A^n$ entonces obtenemos una inmersión cerrada $(\phi,1/g_\alpha): D(g_\alpha) \to \Bbb A^{n+1}$ donde las ecuaciones que recortan la imagen son todas las ecuaciones de $Y$ más la ecuación $x_{n+1}g_\alpha=1$ . Así que podemos saltarnos la última parte de la prueba que implica las localizaciones.