Intercambio de mínimo y máximo para una función continua de dos variables

Question

Dejemos que $f:[0,1]\times[0,1]\to\mathbb{R}$ sea una función continua. Definir $$M_x:=\max\limits_{0\leq y\leq 1} f(x,y), \qquad m_y:=\min\limits_{0\leq x\leq 1} f(x,y).$$ ¿Existe un conjunto de supuestos útiles bajo los cuales se pueda concluir que $$\inf\limits_{0\leq x\leq 1}M_x = \sup\limits_{0\leq y\leq 1} m_y ?$$ Como el ejemplo $f(x,y)=(x-y)^2$ muestra, esto no es cierto en general. Por otra parte, creo (aunque no he comprobado los detalles cuidadosamente) que esto es cierto siempre que para cualquier $x$ El máximo de $f(x,y)$ se alcanza en un $unique$ $y$ y que para cualquier $y$ el mínimo de $f(x,y)$ se alcanza en un $unique$ $x$ . Agradecería cualquier referencia que trate esta cuestión en detalle.

Answer 1

Hay muchos resultados de este tipo y, en general, reciben el nombre de teoremas minimax. A menudo se hace algún tipo de suposición de convexidad / concavidad, como en Teorema del mínimo de Sion .

Tienes razón al afirmar que la unicidad de los optimizadores te da la igualdad cuando $f$ es continua con dominio $[0,1]\times [0,1]$ . Sin embargo, esto puede fallar si el dominio de $f$ es diferente. Por ejemplo, dejemos que $f$ sea la métrica de la longitud de arco en el círculo. Entonces $M_x = \pi$ para todos $x$ , $m_y = 0$ para todos $y$ . Los óptimos se alcanzan de forma única en $y = -x$ y $x=y$ respectivamente, pero $\pi = \inf_x M_x \neq \sup_y m_y = 0$ .