Es $W_0^{1,p}(\Omega)\cap L^\infty(\Omega)$ ¿completa?

Question

Dejemos que $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ sea un dominio acotado. Definir $W=W_0^{1,p}(\Omega)\cap L^\infty(\Omega)$ . Es $W$ completa con respecto a la norma $\|v\|=\|v\|_{1,p}+\|v\|_\infty$ ?

Si $u_n$ es una sucesión de Cauchy, entonces, utilizando la definición de $\|\cdot\|$ podemos encontrar $u_1$ y $u_2$ tal que $u_n\rightarrow u_1$ en $W_0^{1,p}(\Omega)$ y $u_n\rightarrow u_2$ en $L^\infty(\Omega)$ . ¿Hay alguna posibilidad de que $u_1=u_2$ ?

Answer 1

Sí. Desde $\Omega$ está acotado, tanto $W^{1,p}_0$ y $L^\infty$ están contenidas en $L^1$ con inclusión continua. Si $u_n$ converge a $v_1$ en $W^{1,p}_0$ y a $v_2$ en $L^\infty$ , entonces converge a $v_1$ y a $v_2$ en $L^1$ . De ello se desprende que $v_1=v_2$ casi en todas partes.