Derivación de la velocidad de precesión de un giroscopio de rueda

Question

He buscado en la web y lo único que he encontrado es la velocidad de precesión de una peonza. Pero lo que quiero es la derivación de la velocidad de precesión de una rueda colgada de una cuerda, como se muestra a continuación:

que se extrae de este video .

El profesor Walter Lewin dice en su video que $$\omega_{\text{precession}} = \frac{\tau}{L_{\text{spin}}}$$

Pero la derivación no se da en ese vídeo. Así que sería muy apreciado si alguien me da la derivación.

Answer 1

Hay una manera más formal/mecánica de hacerlo, pero creo que esto puede ser lo suficientemente sencillo y a la vez correcto. También podría haber una forma más directa de hacerlo.

Utilizaré coordenadas cilíndricas.

Sabemos que el par de torsión (sobre el origen es) es $$\begin{equation} \vec{\tau} = \tau \, \hat{\phi} \end{equation}$$ También sabemos, porque es una cima plana simétrica, que la velocidad angular del cuerpo es paralela al momento angular del cuerpo. Entonces, $$\begin{equation} \vec{L} = L \, \hat{\rho} \text{.} \end{equation}$$ La relación entre el mometum angular y el par motor es $$\begin{equation} \frac{d}{dt} \vec{L} = \vec{\tau} \text{.} \end{equation}$$ Nótese que la magnitud del momento angular es constante, ya que tanto el par como el mometum angular son perpendiculares para todo el tiempo. $$\begin{align} L \frac{d}{dt} \hat{\rho} &= \tau \hat{\phi} \\ L \left(\frac{d}{dt} \hat{\rho}\right) \cdot \hat{\phi} &= \tau \\ \left(\dot{\phi}\hat{\phi}\right) \cdot \hat{\phi} &= \frac{\tau}{L} \\ \dot{\phi} &= \frac{\tau}{L} \end{align}$$ Desde $\dot{\phi}$ es constante (ambos $\tau$ y $L$ son), los llamamos $\omega_{\text{precession}}$ .