Nadie ha notado este patrón?

Question

He estado jugando un poco y me di cuenta de un curioso patrón cuando se trata de las progresiones de poderes.

Vamos a tomar la progresión de números enteros consecutivos:

$1,2,3,4,5,6,7,...$

Obviamente es una progresión aritmética con una distancia de 1. Y, obviamente, 1 = 1!

¿Qué tal si nos tomamos la progresión de las plazas de la secuencia anterior?

$1^2,2^2,3^2,4^2,5^2,6^2,7^2,.. = 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,... $

nos damos cuenta de que las distancias entre los números son

$3,5,7,9,11,13,...$

que es una progresión aritmética con una distancia de 2. Tome nota de que 2 = 2!

Ahora bien, si hemos de hacer lo siguiente para los cubos:

$1^3,2^3,3^3,4^3,5^3,6^3,7^3,...=1, 8, 27, 64, 125, 216, 343,...$

nos damos cuenta de que las distancias entre los números son

$7, 19, 37, 61, 91, 127,...$

En el primer aspecto, no parece ser un patrón aquí, sin embargo, si tomamos las distancias de las distancias, se obtiene:

$12, 18, 24, 30, 36,...$

que como antes de que nos damos cuenta de que es una progresión aritmética con una distancia de 6. Tome nota de que 6 = 3!

Ahora vamos a tomar la progresión de las cifras planteadas en el poder de 4:

$1^4,2^4,3^4,4^4,5^4,6^4,7^4,...=1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401,...$

Como antes de tomar las distancias:

$ 15, 65, 175, 369, 671, 1105,...$

a continuación, las distancias de las distancias:

$ 50, 110, 194, 302, 434,... $

y, finalmente, las distancias de las distancias de las distancias:

$ 60, 84, 108, 132,...$

Notemos de nuevo que es una progresión aritmética con una distancia de 24. Tome nota de que 24 = 4!

No estoy seguro de si este patrón ha sido observado, pero parece prometedor, sobre todo por la serie de fórmulas.

Answer 1

SUGERENCIA:

Si el $n$ th $\displaystyle T_n=n^r$

$\displaystyle T_{m+1}-T_m=(m+1)^r-m^r=\sum_{k=0}^{r-1}\binom mkm^k$

Observar que la diferencia de orden $O(r-1)$

Si establecemos $T'_m= T_{m+1}-T_m,$

$T'_{s+1}-T'_s $ será de orden $O(r-2)$ y así sucesivamente

Referencia :

De Diferencia finita I, II

Finito Suma de Poder?

Answer 2

Si usted tiene cualquier polinomio con coeficientes racionales que lleva enteros positivos para los números enteros, se puede escribir de forma única en el formulario $$ f(x) = a_n{x \elegir n} + \ldots + a_1 {x \a elegir 1} + a_0 $$ donde si $x$ no es un número entero definimos $$ {x \elegir n} = \frac{x(x-1)\ldots(x-1+n)}{n!} $$ (mnemotécnico: estamos tomando la fórmula para ${x \choose n}$ donde $x$ es un número entero y la cancelación de la parte del denominador que no tienen sentido cuando se $x$ no lo sea).

Tenga en cuenta que, considerando a ${x \choose n}$ sí, vemos que no son polinomios con coeficientes racionales que toman enteros positivos para los enteros, pero no tienen por sí mismos coeficientes enteros.

De hecho, podemos recuperar $a_n$ $\Delta^n(0)$ donde $\Delta f(m):= f(m+1) - f(m)$ e las $n$ significa para recorrer el operador $n$ veces.

De haber aplicado esta construcción para el polinomio $x^n$ y recuperó ese $a_n = n!$ en este caso. Usted puede ver esto sin hacer ningún cálculo por grado consideraciones.