Se me ocurren dos enfoques.
(a) Analítica. Sólo necesitamos información sobre $\zeta(s)$ no sobre otros $L$ -funciones. Por lo tanto, podemos utilizar el hecho de que RH se ha verificado hasta una altura muy grande. Esto debería implicar un resultado de la forma
$\sum_{n\; \text{squarefree}} f(n/x) = (1+\epsilon) 2 \zeta(2) + O^*(C_{\epsilon'} x^{1/4+\epsilon'})$ ,
où $O^*(K)$ significa " una cantidad de valor absoluto como máximo $K$ ", $\epsilon$ es una constante muy pequeña, $\epsilon'>0$ es arbitrariamente pequeño y $C_{\epsilon'}$ depende únicamente de $\epsilon'$ .
Dificultad: dar un valor explícito, y preferiblemente pequeño, para $C_{\epsilon'}$ no parece muy fácil. No podemos desplazar la línea de integración hasta $\Re(s)=1/2$ sin tener un límite en los residuos de $1/\zeta(s)$ si desplazamos la línea de integración sólo hacia $\Re(s)=1/2+\epsilon'$ todavía necesitamos límites superiores para $1/|\zeta(s)|$ (es decir, límites inferiores para $\zeta(s)$ ). Hay algunos trabajos no explícitos en esta dirección, pero no conozco nada explícito con constantes razonables. (Me encantaría que me sorprendieran).
(b) "Elemental". Un límite totalmente elemental seguiría presumiblemente a Cohen y Dress, MR0952866, y daría límites de aproximadamente la misma calidad (término de error = $O(x^{1/2})$ donde la constante implícita no es grande pero tampoco muy pequeña). Un enfoque más mixto procedería como en el trabajo de Cohen, Dress y El Marraki citado por Barry Cipra más arriba. La mitad del trabajo (tamizar los factores m^2 con $m\leq c\cdot \sqrt{x}$ ) sí que mejoraría con el alisado. La otra mitad se basaría en estimaciones sobre $M(N) = \sum_{n\leq N} \mu(n)$ . Aquí las estimaciones de la forma $|M(N)|\leq c N$ , $c$ una pequeña constante (para $N$ mayor que una constante) son conocidos, y conducen a estimaciones de la forma
$\sum_{n\; \text{squarefree}} f(n/x) = 2 \zeta(2) + O^*(c x^{1/2})$ ,
con $c$ bastante pequeño (pero no "muy pequeño"; estamos hablando de $10^{-3}$ en lugar de $10^{-20}$ , digamos) siempre que $x$ es mayor que una constante. Obtener estimaciones útiles del término de error mejores que $O^*(c x^{1/2})$ es difícil, sin embargo, ya que implica la estimación de $M(x)$ Esto parece difícil por la misma razón expuesta anteriormente, es decir, las estimaciones para los residuos de $1/\zeta(s)$ o límites superiores para $1/|\zeta(s)|$ se hace necesario.
Pregunta: ¿hay una tercera vía? ¿O hay una manera de dar buenos límites superiores para $1/|\zeta(s)|$ para $|\Im(s)|\leq H_0$ suponiendo que la hipótesis de Riemann se cumple para $|\Im(s)|\leq H_0$ (o un poco más)?
