Demostrar un cuadrado cíclico donde hay líneas paralelas

Question

En el siguiente diagrama, PT y PU son tangentes. Demostrar que MUPT es un cuadrilátero cíclico.

Para utilizar el $\text{(ext $ \N - Ángulo = $ int opp $ |ángulo $)}$ regla:

$\widehat{U_4} = \widehat{T_2}\quad\text{(tan chord)}$

pero ahora no puedo probar que $\widehat{T_1} = \widehat{U_3}$ .

Tengo dibujado esto en GeoGebra para poder ver gráficamente que es cierto.

Answer 1

Una versión más completa de qsmy es esta*:

Sea la intersección de los rayos que se extienden desde $PU$ y $TW$ sea $Q$ .

$\angle UPM=\angle QUW\quad\text{(corr. $ |ángulo $'s, $ PM||UW $)}$

$\angle QUW=\angle UTW\quad\text{(tan chord)}$

$\therefore \angle UPM = \angle UTW$

$\therefore MUPT \text{ is a cyclic quad}\quad\text{(line segment subtends $ = \N-ángulo $'s)}$

Para aclarar la última línea, el lema utilizado es el siguiente "Si un segmento de línea subtiende ángulos iguales en otros dos puntos del mismo lado del segmento de línea, entonces estos cuatro puntos son cíclicos".

*qsmy y otros no querían que se editara esa respuesta.

Answer 2

Que el rayo donde $PU$ es ser $PQ$ . En realidad es simplemente $∠UPM=∠QUW=∠UTW$ .