Ejercicio 3B.4 en la página 84 de Isaacs Finita de la Teoría de Grupo le pide a uno para demostrar que es un precursor de los teoremas de Sylow para $π$-subgrupos, y sólo yo sé cómo hacerlo usando los teoremas de Sylow, así que he perdido el punto. Yo realmente necesitaba una similar (falso) declaración en mi investigación, por lo que pensé que sería sabio para conseguir el punto.
Supongamos $G$ es un grupo finito, y $N$ es un subgrupo normal cuyo índice y el orden son coprime. Deje $U$ ser un subgrupo de $G$ cuyo fin es coprime a la orden de $N$. Si cualquiera de las N o $U$ es solucionable, a continuación, mostrar que $U$ está contenida en algunos de los subgrupos $H$ cuyo fin es el índice de $N$$G$.
Herramientas disponibles: ya Tenemos Schur–Zassenhaus, y así sabemos que $G$ tiene un subgrupo cuyo fin es el índice de $N$.
En otras palabras, si $G$ tiene un normal Hall $π$-subgrupo, entonces cada $π′$-subgrupo está contenida en alguna Sala de $π′$-subgrupo. Sin embargo Hall subgrupos son la siguiente sección, y la contención y la $π$-separabilidad están en la sección después de eso, tan atractivo para la Sala de la generalización de Sylow del teorema se pierda el punto.
Intento: Vamos a $M$ ser un subgrupo maximal de a $G$ contiene $U$. Si $N$ no está contenido en $M$, $M∩N$ es un subgrupo normal de $M$ cuyo fin es coprime a su índice, y nos podemos encontrar con $H ≤ M$$U ≤ H$$|H| = [M:M∩N]=[G:N]$, y hemos terminado.
Si $N$ está contenida en cada subgrupo maximal de a $G$ contiene $U$,$\ldots$ . Sería bueno si $N$ fue en el Frattini, pero eso no es cierto. Tal vez en este punto sería conveniente el uso de solvencia?
