Consideremos dos espejos construidos de la siguiente manera.
¿Cómo podemos demostrar que el número de imágenes es $360/A -1$ ? ¿Qué tal el caso en el que $360/A$ no es un número entero? En serio, no tengo ni idea de cómo empezar a resolverlo analíticamente en lugar de utilizar la construcción geométrica con compás y regla.
¿Cómo podemos demostrar que el número de imágenes es $360/A−1$ ?
¿Has probado a dibujar esto? Es decir, dibujar tanto el corte original como todas sus imágenes en el mismo plano. Eso debería darte una idea clara de dónde viene esta fórmula.
¿Qué tal el caso en el que $360/A$ no es un número entero?
De hecho, $\frac{180°}{A}\not\in\mathbb N$ será un problema, incluso si $\frac{360°}{A}\in\mathbb N$ ya que en ese caso se obtiene un número par de imágenes especulares, que junto con el original forman un número impar de objetos. Esto no encaja con el cambio de orientación entre una imagen y su espejo.
En todos estos casos, notarás una costura: la imagen que ves a la izquierda del borde común entre los dos espejos (si piensas en espejos en 3D; sería el único punto de intersección en el plano) no encajará con la imagen de la derecha.
En serio, no tengo ni idea de cómo empezar a resolverlo analíticamente en lugar de utilizar la construcción geométrica con compás y regla.
¿Quién dice que hay que hacerlo de forma analítica?
Una forma de demostrarlo analíticamente sería expresando las dos reflexiones como operaciones de algún tipo razonable (por ejemplo, multiplicación de matrices, o una combinación de multiplicación compleja y conjugación compleja), y luego echar un vistazo al grupo generado por estas operaciones. Verás que el grupo resultante es finito si $\frac{360°}{A}\in\mathbb N$ . También observará que para $\frac{180°}A\not\in\mathbb N$ existe un elemento de grupo que mapea la rebanada entre los espejos sobre sí misma, pero no es la identidad, sino una reflexión a lo largo de la mitad de esa rebanada. Lo que nos lleva a $\frac{180°}A\in\mathbb N$ como condición necesaria y suficiente para un número finito de imágenes que no se solapen entre sí.
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