dejar $f$ y $g$ sean dos funciones de $[0,1]$ a $[0,1]$ con $f$ estrictamente creciente. ¿Cuál de las siguientes opciones es verdadera?

Question

Dejar $f$ y $g$ sean dos funciones de $[0,1]$ a $[0,1]$ con $f$ estrictamente creciente. ¿Cuál de las siguientes opciones es verdadera?

(a). Si $g$ es continua, entonces $f\circ g$ es continua.

(b). Si $f$ es continua, entonces $f\circ g$ es continua.

(c). Si $f$ y $f\circ g$ son continuos, entonces $g$ es continua.

(d). Si $g$ y $f\circ g$ son continuos, entonces $f$ es continua.

Adiviné esto

$f$ es estrictamente creciente $\implies$ $f$ es continua en $[0,1]$ Entonces, si $g$ es continua, entonces $f\circ g$ es continua. ¿Es correcto mi planteamiento? Si estoy en lo cierto, ¿por qué los demás están equivocados?

Answer 1

Sólo la afirmación (c) es verdadera.

Una pista: si $f$ es continua y estrictamente creciente, tiene una inversa (izquierda) continua $f^{-1}$ . Considere $f^{-1} \circ f \circ g$ .

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Contraejemplos, sin ningún orden en particular:

• $f(x) = x$ , $g(x)$ es discontinuo
• $f$ es creciente pero discontinua, $g$ es una función constante
• $f$ es creciente pero discontinua, $g(x) = x$

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Un ejemplo de función discontinua estrictamente creciente: $$ f(x) = \begin{cases} x/3 & x \in [0,1/2)\\ (x+1)/3 & x \in [1/2,1] \end{cases} $$

Answer 2

Si $f$ es estrictamente creciente, podemos garantizar que $f$ tiene, como mucho, infinitos puntos de discontinuidad. Pero la monotonicidad estricta no implica en absoluto la continuidad. Consideremos $f(x)=x/2$ para $x<1/2$ y $f(x)=(1+x)/2$ para $x\ge1/2$ .

Answer 3

Para (a), considere $g(x) = x$ y $f$ cualquier función creciente discontinua (por ejemplo $f(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}x, x > 0$ y $f(0) = 0$ ).

Para (b), considere $f(x) = x$ y $g$ cualquier función discontinua.

Para (d), considere $g(x) = 0$ y $f$ cualquier función discontinua creciente.