Supongamos que $X/\mathbb F_q$ es una variedad proyectiva suave. Katz-Messing ( eudml ) muestra que el polinomio característico de Frobenius en $H^i_{et}(\overline{X},\mathbb Q_\ell)$ y $H^i_{crys}(X)$ son iguales. Supongamos ahora que $G \subset Aut(X)$ es un grupo finito. ¿Podemos identificar las dos cohomologías como $G$ -(sobre un campo algebraico cerrado) $K$ que contiene tanto $\mathbb Q_\ell$ y $W(\mathbb F_q)$ )?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
anon
Puntos
51
Esto está bien cuando $X$ es proyectiva y suave, al menos cuando el Kunneth de la diagonal son algebraicas. Sea $k$ sea el cierre algebraico de un campo finito. Definir $M_{1}$ y $M_{2}$ las categorías de motivos sobre $k$ para la equivalencia homológica (con respecto a alguna cohomología de Weil $H$ ) y equivalencia numérica, respectivamente. Son categorías tensoriales rígidas, y tenemos tenemos un functor tensorial $M_{1}\rightarrow M_{2}$ (que conserva las huellas). Un automorfismo $a$ de $X$ define los automorfismos $h_{1}^{r}X$ y $h_{2}^{r}X$ , y $Tr(a|H^{r}(X))=Tr(a|h_{1}^{r}X)=Tr(a|h_{2}^{r}X)$ que es un racional (que no depende de $H$ ). Cuando se aplica a los poderes de $a$ Esto demuestra que que el polinomio característico de $a$ en $H^{r}(X)$ tiene un carácter racional independientes de $H$ (por las identidades de Newton).
El siguiente argumento puede demostrar el caso general (o no). Sea $M(k)$ sea una (buena) categoría triangulada de motivos con $\mathbb{Q}{}$ -y que $f\colon M(k)\rightarrow P$ sea el functor determinante universal de $M(k)$ (Breuning 2011, 3.1). El determinante de un automorfismo $a$ de un objeto $X$ de $M(k)$ es un elemento de $\pi _{1}(P)$ que contiene $\mathbb{Q}^{\times}$ . El resultado de Bondarko/Olsson debería mostrar que, para todos los enteros $n$ , $\det(1-na)\in \mathbb{Q}^{\times}\subset\pi_{1}(P)$ . Si es así, se deduce que existe un polinomio en $\mathbb{Q}[T]$ que es igual al polinomio característico de $a$ en el $l$ -realización de la $X$ para todos $l$ (incluyendo $l=p$ ) (véase la Proposición 3.1 de arXiv:1311.3166).
