Forma débil de la Nullstellensatz de Hilbert (Atiyah-Macdonald)

Question

Conozco esta formulación de la forma débil del Nullstellensatz de Hilbert.

Si $k$ es un campo algebraicamente cerrado, $I\in k[x_1,\dots,x_n]$ es un ideal. Entonces $V(I)=\varnothing$ si y sólo si $1\in\sqrt{I}$ .

En Atiyah-Macdonald "Introduction to Commutative Algebra" el teorema se enuncia de forma (probablemente) más general (Corolario $7.9$ ):

Dejemos que $k$ sea un campo, $A$ un edificio finitamente generado $k$ -de la álgebra. Sea $\mathfrak{M}$ sea un ideal máximo de $A$ . Entonces el campo $A/\mathfrak{M}$ es una extensión algebraica finita de $k$ . En particular, si $k$ es algebraicamente cerrado entonces $A/\mathfrak{M}\simeq k$ .

Me gustaría entender la relación entre ambas afirmaciones.

Answer 1

La segunda forma es, efectivamente, como ha dicho, una afirmación más general. En primer lugar, demostramos que, si $\mathbb{K}$ es algebraicamente cerrado, todo ideal maximal de $R = \mathbb{K}[x_1, x_2, \dots, x_n]$ es de la forma $\mathfrak{m} = (x_1 - a_1, \dots, x_n - a_n)$ . Evidentemente, cualquier ideal de este tipo es maximal. Para demostrar lo contrario, consideremos un ideal maximal $\mathfrak{n}$ y la proyección $\varphi: R\to R/\mathfrak{n}$ . Como has dicho, $R/\mathfrak{n} \simeq \mathbb{K}$ por el Nullstellensatz. Llame a $a_i$ la imagen de $x_i$ . Entonces vemos fácilmente que $\mathfrak{m} = (x_1-a_1, \dots, x_n-a_n) \subset \ker(\varphi)$ . Por la maximalidad de $\mathfrak{m}$ debe coincidir con el núcleo $\mathfrak{n}$ .

Ahora pasamos a $V(I)$ . Tenga en cuenta que, si $(a_1,\dots, a_n) \in V(I)$ considerando el morfismo de evaluación en $(a_1, \dots, a_n)$ , obtenemos que $I \subseteq M = (x_1 -a_1, \dots, x_n - a_n)$ : en efecto, $M$ está en el núcleo, y por suposición $I$ también está en el núcleo. Si, por el contrario, $I$ es propio, entonces está contenido en algún ideal maximal y también sabemos, por lo anterior, que todo ideal maximal de $R$ está en correspondencia uno a uno con $n$ -tuplas $(a_1, \dots, a_n)$ y que desaparece cuando se evalúa en dicha tupla. Así, considerando de nuevo el morfismo de evaluación en el $n$ -correspondiente a uno de los ideales máximos que contienen $I$ , obtenemos que $(a_1, \dots, a_n) \in V(I)$ desde $I$ está contenido en el núcleo de dicho morfismo. Hemos demostrado y ahora podemos formular lo siguiente: $$V(I) \neq \varnothing \iff I \text{ is proper}$$ Su afirmación es el contrapositivo, ya que $1 \in \sqrt{I} \implies 1 \in I$ , lo que a su vez implica $I$ no es apropiado.