Trillizos de satisfacciones $(a^3+b)(b^3+a)=2^c$

Question

Encontrar el número de tripletes $(a,b,c)$ satisfacción $(a^3+b)(b^3+a)=2^c$ donde $a,b,c\in \mathbb{N}$

Una solución trivial es $(1,1,2)$. Creo que no hay algún otro tipo de trillizos, así que he estado tratando de demostrar que, pero no he sido capaz de hacerlo.
Cómo pueden otras soluciones?

Answer 1

shaurya gupta ya se ha señalado la solución de $(a,b,c) = (1,1,2)$; rogerl encontrado otro par, $(3,5,12)$$(5,3,12)$, y conjeturó que no hay otros. Puedo demostrar que esta conjetura es correcta.

[La pregunta requiere que el $a,b,c \in \mathbb N$; esta notación "$\mathbb N$" a veces se usa para los números enteros no negativos, pero supongo que cero no está permitido aquí, más $(a,b,c) = (0,2^r,4r)$ es una solución para cada entero no negativo.]

rogerl muestra que $a,b$ debe ser impar. Suponer sin pérdida de generalidad que $a \leq b$, y escribir $$ a^3 + b = 2^d, \quad b^3 + a = 2^e $$ para algunos enteros $d,e$$d \leq e$$c = d+e$. A continuación,$b = \lfloor 2^{e/3} \rfloor$, lo que hace que sea fácil de comprobar que las tres soluciones conocidas son los únicos con $e \leq 15$ (para cada una de las $e$, resolver por $b$, para recuperarse $a = 2^e - b^3$, y comprobar si $0 < a \leq b$). Por lo tanto, cualquier otra solución debe tener $e>15$, y por lo tanto $d>5$ (debido a $b^3+a < (a^3+b)^3$).

Ahora $a,b$ satisfacer $a^3 \equiv -b$ $b^3 \equiv -a$ mod $2^d$. Por lo tanto,$a^9 \equiv a \bmod 2^d$. Desde $a$ es impar se sigue que $a^8 \equiv 1$, por lo $a \equiv \pm 1 \bmod 2^{d-3}$. Por lo tanto $a=1$, otra cosa $a \geq 2^{d-3}-1$ y $a^3 > 2^d$. Pero, a continuación,$b=2^d-1$, y (desde $d>5$) hemos llegado a un contradicción, porque $b^3+a$ es estrictamente entre $2^{3d-1}$$2^{3d}$. QED

P. S. Para el registro:

@ $a,b$ es extraño, porque si una potencia de $2$ es la suma de dos enteros positivos luego de su 2-valoraciones son iguales, y esto no sería posible con $a,b$ incluso.

@ Una prueba de la implicación $a^8 \equiv 1 \bmod 2^d \Longrightarrow a \equiv \pm1 \bmod 2^{d-3}$ es escribir $\pm a = 1 + 4n$ y expandir $(a^8-1)/32$ como un polinomio en $n$.

Answer 2

Tenga en cuenta que $a$ $b$ debe ser impar y relativamente primos. Para ellos deben tener la misma paridad, y si ambos son incluso, decir $a = 2^rt$ $b = 2^su$ $t$ $u$ impar, entonces (suponiendo que wlog que $1\le r\le s$) $$(a^3+b)(b^3+a) = (2^{3r}t + 2^ub)(2^{3}u+2^rt) = 2^r(2^{3r}t + 2^ub)(2^{3-r}u+t) = 2^c.$$ Por lo tanto $(2^{3r}t + 2^su)(2^{3s-r}u+t)$ es una potencia de $2$, por lo que el$3s-r=0$$r=3s$. Pero, a continuación, el primer factor no puede ser una potencia de $2$.

La única solución con $a, b\le 10,\!000$ $\{3,5,12\}$ (y, por supuesto,$\{5,3,12\}$).

Dada la relativa escasez de los cubos, me sorprendería encontrar soluciones adicionales.