Una pregunta sobre la convolución libre finita

Question

Para cualquier matriz cuadrada $Y$ dejar $\chi_x(Y) = det(xI -Y)$ denotan su polinomio característico.

Diga $A$ et $B$ son dos $n-$ matrices simétricas dimensionales con sumas de filas constantes $a$ et $b$ . Definamos los polinomios $p_1(x)$ et $p_2(x)$ de la siguiente manera : $\chi_x(A)=(x-a)p_1(x)$ et $\chi_x(B)=(x-b)p_2(x)$ . Entonces, sobre el muestreo uniforme del grupo de permutación $S_n$ se puede demostrar (una prueba no trivial) que la ``convolución libre finita'' (denotada como $\boxplus$ ) satisface la siguiente identidad,

$$\mathbb{E}_{P \sim S_n} [\chi_x(A + PBP^T)] = (x-(a+b))[p_1(x) \boxplus p_2(x)]$$

Dada una $n-$ matriz simétrica dimensional $M$ tal que, $\chi_x(M) = (x-1)^{\frac {n}{2}}(x+1)^{\frac {n}{2}}$ definir un polinomio $p$ tal que $\chi_x(M)=(x-1)p(x)$ . Ahora, aparentemente, la siguiente identidad se mantiene para cualquier número entero positivo $d$ ,

$$\underset{P_1,P_2,..,P_d \sim S_n}{\mathbb{E}}[\chi_x(P_1MP_1^T+ P_2MP_2^T+..+P_dMP_d^T)]\\ = (x-d)[p(x)\boxplus p(x) ..(d \text{ times})..\boxplus p(x)]$$

¿Puede alguien ayudar a derivar la segunda igualdad de la primera?

---

Creo que se trata de algún tipo de inducción pero soy incapaz de hacerla funcionar. Como en incluso en $d=3$ No puedo conseguirlo explícitamente.

Answer 1

La clave aquí es la bilinealidad de $p\boxplus q$ , en $p$ et $q$ (según la fórmula (24.2) en las notas de clase en http://www.cs.yale.edu/homes/spielman/561/lect24-15.pdf a la que se refiere).

De acuerdo con la respuesta del OP a mi comentario, supongamos $M$ tiene todas las sumas de las filas iguales $1$ . Entonces también $P_2MP_2^T,\dots,P_dMP_d^T$ y por lo tanto $N_Q:=P_2MP_2^T+\dots+P_dMP_d^T$ tiene todas las sumas de las filas iguales $d-1$ , donde $Q:=(P_2,\dots,P_d)$ . Por lo tanto, la fórmula \begin{equation} \chi_x(N_Q)=(x-(d-1))p_Q(x)\tag{0} \end{equation} define un polinomio $p_Q(x)$ . Usando esa identidad $$\underset{P}E\, \chi_x(A + PBP^T) = (x-(a+b))[p_1(x) \boxplus p_2(x)]$$ -- y la mencionada bilinealidad de $\boxplus$ , tenemos \begin{align*} &\underset{P_1,P_2,\dots,P_d}E\chi_x(P_1MP_1^T+ P_2MP_2^T+\dots+P_dMP_d^T) \\ &=\underset{Q}E\underset{P_1}E\chi_x(M+ P_1N_QP_1^T) \\ &=\underset{Q}E(x-(1+d-1))(p(x) \boxplus p_Q(x))\\ &=(x-d)(p(x) \boxplus \underset{Q}E\,p_Q(x)). \tag{1} \end{align*} Por otro lado, por inducción y fórmula (0), \begin{equation*} (x-(d-1))p^{\boxplus(d-1)}(x)=\underset{Q}E\,\chi_x(N_Q) =(x-(d-1))\underset{Q}E\,p_Q(x), \end{equation*} para que $\underset{Q}E\,p_Q(x)=p^{\boxplus(d-1)}(x)$ El $(d-1)$ -convolución libre finita de $p$ con ella misma. Ahora se obtiene el resultado deseado por (1).