Contorno integral para $x^3/(e^x-1)$?

Question

Lo de contorno e integrando las utilizamos para evaluar $$\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1} dx$$

O es que esto va a necesitar alguna otra técnica?

Answer 1

Supongo que por "o es que iba a necesitar algo más" que significaba que están abiertos a los no-contorno de la integración de las otras opciones, voy a mostrar uno de esos y dejar que el contorno de la integración de la izquierda a la otra persona (que no es tan malo, yo sólo deseo que yo tenía un programa gráfico).

La forma clásica para evaluar esta integral es como sigue

$$\begin{aligned}\int_0^\infty\frac{x^m}{e^x-1}\;dx &= \int_0^{\infty}\frac{e^{-x}x^m}{1-e^{-x}}\;dx\\ &=\int_0^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}x^me^{-x(n+1)}\;\\ &= \sum_{n=0}^{\infty}\int_0^{\infty}x^me^{-x(n+1)}\;dx\\ &=\Gamma(m+1)\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{m+1}}\\ &=\Gamma(m+1)\zeta(m+1)\end{aligned}$$

Este es, de hecho, la manera en que uno se define a $\zeta(x)$ $x>1$.

Answer 2

Lo siento, no tenemos un programa gráfico, así que voy a intentar describir.

Para resolver la integral pensé en un rectángulo de vértices $0$, $R$, $R+2\pi i$ y $2\pi i$. Ya que la función que vamos a utilizar es la singular, en el $2k\pi i$ tenemos para aplicar una sangría a la primera y el último vértice mediante el uso de un cuarto de círculo para cada uno: vamos a hacer que los pequeños y, en aras de la claridad, de la radio de $\epsilon$.

Llamando a este contorno $\Gamma$ tenemos:

$$\oint_{\Gamma} \frac{z^4}{e^z -1}\mathrm{d}x = 0$$ por Cauchy teorema.

Como te darás cuenta que tenemos ahora 4 segmentos y 2 cuartos de círculo para integrar, a saber: $$\int_\epsilon ^R \frac{x^4}{e^x - 1}\mathrm{d}x + \int_0 ^{2\pi} \frac{(R+iy)^4}{e^{I+iy}- 1}i\mathrm{d}y + \int_{R}^\epsilon \frac{(x+i2\pi)^4}{e^{x+i2\pi}-1}\mathrm{d}x + \int_0 ^{-\frac{\pi}{2}}\frac{(2 \pi i + \epsilon e^{i\theta})^4}{e^{2\pi i + \epsilon e^{i\theta}}-1} i\epsilon e^{i\theta}\mathrm{d}\theta + \int_{2\pi \epsilon}^{\epsilon}\frac{(iy)^4}{e^{i y}-1}\mathrm{d}y+ \int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\frac{(\epsilon e^{i\theta})^4}{e^{\epsilon e^{i\theta}}-1}i\epsilon e^{i\theta} \mathrm{d}\theta = 0.$$

Lo primero que se puede expandir el poder en la tercera integral y tenga en cuenta que su primer mandato se cancela con la primera integral.

Antes de escribir cualquier cosa que se nos tome en cuenta los límites de $R \to +\infty$, lo que cancela la segunda integral, e $\epsilon \to 0^+$, lo que anula la anterior y se obtiene un valor finito $-8i\pi^5$ en el 4to.

Por lo tanto, tenemos $$-i8\pi \int_0 ^\infty \frac{x^3}{e^x - 1} \mathrm{d}x + 24\pi^2\int_0 ^\infty \frac{x^2}{e^x -1}\mathrm{d}x + i 32 \pi^3 \int_0 ^\infty \frac{x}{e^x - 1}\mathrm{d}x - 16\pi^4\int_0 ^\infty \frac{1}{e^x - 1}\mathrm{d}x -i8\pi^5+\frac{i}{2} \int_0 ^{2\pi} y^4 \mathrm{d}y - \frac{1}{2} \int_0 ^{2\pi} \frac{y^4 \pecado y}{1-\cos y}\mathrm{d}y=0.$$ Donde hemos dividido la 5ª integral en sus partes real e imaginaria.

Teniendo en cuenta la expresión del imaginario partes: $$-8\pi \int_0 ^\infty \frac{x^3}{e^x - 1} \mathrm{d}x + 32\pi^3 \int_0 ^\infty \frac{x}{e^x - 1}\mathrm{d}x - 8\pi^5 + \frac{16}{5}\pi^5 = 0.$$

La segunda integral da $\frac{\pi^2}{12}$ (para una solución de este un contorno similar a la que hemos utilizado aquí es necesario; estoy bastante seguro de que ya ha sido resuelto en las Matemáticas.SE).

Finalmente: $$\int_0 ^\infty \frac{x^3}{e^x - 1} \mathrm{d}x = \frac{\pi^4}{8} \left(\frac{8}{3}-8+\frac{16}{5}\right) = \frac{\pi^4}{15}.$$