¿La intersección no vacía por pares de intervalos implica la intersección infinita no vacía de intervalos?

Question

Para cada $n \in \mathbb{N}$ un intervalo cerrado $[x_n, y_n]$ se da. Supongamos que $[x_m, y_m]\, \cap \, [x_n, y_n] \neq \emptyset$ para todos $m,n \in \mathbb{N}$ . Demostrar que $\bigcap_{n=1}^{\infty} [x_n, y_n] \neq \emptyset$ .

Lo que he hecho es, asumir para la contradicción que $\bigcap_{n=1}^{\infty} [x_n, y_n] = \emptyset$ lo que implica la existencia de algunos intervalos disjuntos, es decir: que existe $m,n \in \mathbb{N}$ tal que $[x_m, y_m] \, \cap \, [x_n, y_n] = \emptyset$ lo que contradice nuestra hipótesis.

Ahora bien, creo que esto es erróneo porque (i) hace el problema demasiado fácil y (ii) los infinitos son sospechosos, no estoy convencido de que la intersección infinita de intervalos sea vacía implica que existan al menos dos intervalos disjuntos.

Pregunta: ¿Mi "prueba" está completamente fuera del tren de pensamiento correcto? ¿Cómo lo arreglo?

Answer 1

No es evidentemente cierto que $\bigcap_{n=1}^{\infty} [x_n, y_n] = \emptyset$ implica que existe $m$ et $n$ tal que $[x_m, y_m] \, \cap \, [x_n, y_n] = \emptyset$ . Obsérvese, por ejemplo, que la intersección de los tres conjuntos $\{0,1\}$ , $\{0,2\}$ y $\{1,2\}$ es vacía, aunque la intersección de dos de ellas sea no vacía. O bien, fíjate en que $\bigcap_{n=1}^\infty(0,1/n)$ está vacía, aunque estos intervalos no sólo tienen intersecciones pares no vacías, sino que están anidados.

Así es como sugeriría enfocarlo. En primer lugar, demuestre que la intersección de cualquier colección finita de sus intervalos no es vacía (para ello, tendrá que utilizar el hecho de que son intervalos, en lugar de simples conjuntos aleatorios). En segundo lugar, demuestra que esto implica que la intersección infinita no es vacía (para ello tendrás que utilizar que los conjuntos no son sólo intervalos, sino intervalos cerrados y acotados; por ejemplo, podrías utilizar la compacidad).

Answer 2

Definir $C_1:=[x_1,y_1]$ y, recursivamente, $$ C_n:=C_{n-1}\cap[x_n,y_n]. $$

Esto da una secuencia de conjuntos compactos no vacíos que satisfacen $C_1\supseteq C_2\supseteq C_3\cdots$ Así que $$ \bigcap_{n=1}^{\infty}C_n=\bigcap_{n=1}^\infty[x_n,y_n]\neq\phi $$ por Teorema de la intersección de Cantor .